Локальна і інтегральна теореми Лапласа
Якщо кількість незалежних випробувань досить велике застосування формули Бернуллі стає трудомістким. Для спрощення обчислень застосовують локальну і інтегральну теореми Лапласа, які дають близький до формули Бернуллі результат при великій кількості випробувань і не вимагають великих обчислень.
ЛОКАЛЬНА Теорема Лапласа
Імовірність того, що в незалежних випробуваннях з ймовірністю появи події дорівнює подія настане рівно раз (байдуже в якій послідовності) визначається за наближеною формулою
- аргумент функції Гаусса;
- ймовірність протилежної події.
Формулу називають локальною формулою Лапласа.
Функція має такі властивості:
1) вона є парною функцією;
2) для значень аргументу більше чотирьох вона як завгодно мала
Теорему Лапласа рекомендується застосовувати при значних твори більше дев'яти
ІНТЕГРАЛЬНА ТЕОРЕМА Муавр-Лапласа
Імовірність, що в незалежних випробуваннях подія з ймовірністю появи настане не менше раз і не більше (незалежно від послідовності появи) наближено визначається залежністю
де - інтегральна функція Лапласа;
- аргументи інтегральної функції розподілу;
- ймовірність невиконання події.
Функція має такі властивості:
1) вона є непарною функцією
2) для аргументів більше п'яти вона дорівнює 0,5
Значення обох функцій знаходять з таблиць в яких функції з достатньою точністю протабульовані.
Розглянемо завдання на застосування кожної з теорем.
Приклад 1. Є 100 лунок за якими випадковим чином розкидають 30 кульок. Кожен кульку з однаковою ймовірністю може потрапити в будь-яку лунку (в одну лунку потрапляє не більше однієї кульки). Знайти ймовірність того, що в обрану лунку потрапить рівно одну кульку.
Рішення. Проводиться незалежних кидків кульок з однаковою ймовірністю попадання при кожному кидку
Ймовірність влучення в лунку рівно однієї кульки визначимо по локальній формулою Лапласа:
Для цього визначаємо складові
і підставимо в залежність
Приклад 2. Проводиться 200 незалежних дослідів з ймовірністю успіху в кожному 24%. Яка ймовірність успішного проведення 50 дослідів?
Рішення. За умовою
знаходимо складові формули Лапласа
Підставляючи в формулу, знаходимо
Приклад 3. Імовірність виходу з ладу за зміну одного верстата дорівнює 0,1. Визначити ймовірність виходу з ладу від 2 до 13 верстатів при наявності 100 верстатів.
Рішення. Записуємо вхідні дані
Для подібних прикладів застосовуємо інтегральну формулу Муавра-Лапласа і знаходимо ймовірність
Рішення задач по наведеним теорем дозволяє при великій кількості випробувань знаходити наближене значення ймовірності. Локальна теорема необхідна при визначенні конкретної кількості появи подій, інтегральна теорема Муавра-Лапласа - у випадках, коли заданий діапазон можливої кількості появ події. Таблиці табулирования функцій, що застосовуються в формулах можна знайти в збірниках по теорії ймовірностей і інтернеті.