логарифмічна похідна

Сьогодні переходимо на наступний щабель майстерності в знаходженні похідної - вивчаємо логарифмічну похідну і похідну статечно-показовою функції. Прочитання цього уроку має на увазі, що ви вже вмієте знаходити похідні простих і складних функцій, їх сум, творів і відносин. Якщо щось з перерахованого вище викликає у вас труднощі, то вам слід вивчити теми «Як знайти похідну» і «Похідна складної функції». Будемо вважати, що ці теми ви вже пройшли.
Розглянемо приклад:
Приклад 1. Знайти похідну функції

Рішення:
Є кілька варіантів знаходження похідної даної функції. Перший - вирішувати «в лоб». Тобто розписати для початку похідну приватного, потім похідну твори і вважати, вважати, вважати ... Недолік даного методу полягає в тому, що в процесі вирішення буде тягнутися дуже громіздка дріб, в якій недовго заплутатися і наробити помилок.
Другий варіант - перед знаходженням похідної спробувати перетворити (спростити) функцію. У нашому випадку було б непогано, якби для знаходження похідної залишилося або тільки твір, або тільки ставлення. Для цього розкриємо дужки в чисельнику, на виході отримаємо дріб, у якої і в чисельнику і в знаменнику багаточлени. Диференціювати таку дріб вже буде простіше.
Другим способом це завдання вирішено ....
І, нарешті, третій, і найпростіший варіант - вирішити дане завдання за допомогою логарифмічною похідною. Що для цього потрібно? Все банально просто: потрібно «навісити» логарифми на обидві частини нашого рівняння.

Тепер потрібно згадати властивості логарифма, а саме, що логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів, а логарифм відносини, дорівнює різниці логарифмів, тобто

І ще нам знадобиться інша корисна властивість логарифма: ступінь під знаком логарифма можна винести за нього

А тепер застосуємо всі ці властивості до нашої функції

Залишилося продифференцировать. Я сподіваюся, ви пам'ятаєте чому дорівнює похідна логарифма, якщо немає - терміново дивіться Таблицю похідних або скачайте її собі на комп'ютер.

Диференціювання правій частині не повинно викликати у вас труднощів, такі похідні ми вже знаходили не один раз. А ось про лівій частині варто сказати пару слів. Просто написати, що - недостатньо, оскільки - це складна функція, що залежить від. Тому і похідну потрібно вважати як від складної функції, тобто .
отримуємо

Тобто у нас утворився, залишилося його тільки висловити, перенісши в праву частину

Підставляємо значення з умови і перетворимо, якщо перетвориться

Диференціювання за допомогою логарифмів зручно застосовувати, коли дано громіздке вираження або вираз в ступеня. У першому випадку логарифми допомагають розбити вираз на дрібні складові, у другому - позбутися від ступеня.
Подивимося ще один приклад
Приклад 2. Знайти похідну функції

Рішення:
«Навішуємо» логарифми

Застосовуємо властивості логарифма

Окремим випадком статечних є статечно-показові функції. У них і в підставі і в ступеня зустрічається. Найпростіший приклад статечно-показовою функції
Приклад 3. Знайти похідну функції

Рішення:
Застосовуємо спосіб логарифмічного диференціювання

Застосовуємо властивості логарифма для ступеня

Але на практиці, як правило, зустрічаються більш складні статечно-показові функції.
Приклад 4. Знайти похідну функції

Рішення:
Навішуємо логарифми на обидві частини

Застосовуємо властивість логарифма