Лінійні і нелінійні диференціальні рівняння

Як звичайні диференціальні рівняння, так і рівняння в приватних похідних можна розділити на лінійні і нелінійні. Диференціальне рівняння є лінійним, якщо невідома функція і її похідні входять в рівняння тільки в першого ступеня (і не перемножуються між собою). Для таких рівнянь рішення утворюють Афінний підпростір простору функцій. Теорія лінійних ДУ розвинена значно глибше, ніж теорія нелінійних рівнянь. Загальний вигляд лінійного диференціального рівняння n-го порядку:

p_ (x) y ^ (x) + p_ (x) y ^ (x) + \ cdots + p_0 (x) y (x) = r (x),
де pi (x) - відомі функції незалежної змінної, звані коефіцієнтами рівняння. Функція r (x) в правій частині називається вільним членом (єдине доданок, що не залежить від невідомої функції) Важливим окремим класом лінійних рівнянь є лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами.

Підкласом лінійних рівнянь є однорідні диференціальні рівняння - рівняння, які не містять вільного члена: r (x) = 0. Для однорідних диференціальних рівнянь виконується принцип суперпозиції: лінійна комбінація приватних рішень такого рівняння також буде його рішенням. Всі інші лінійні диференціальні рівняння називаються неоднорідними диференціальнимирівняннями.

Нелінійні диференціальні рівняння в загальному випадку не мають розроблених методів рішення, крім деяких приватних класів. У деяких випадках (із застосуванням тих чи інших наближень) вони можуть бути зведені до лінійних. Наприклад, лінійне рівняння гармонічного осцилятора \ frac + \ omega ^ 2 y = 0 може розглядатися як наближення нелінійного рівняння математичного маятника \ frac + \ omega ^ 2 \ sin y = 0 для випадку малих амплітуд, коли y # 8776; sin y.