Лінійна залежність і незалежність векторів - студопедія

Визначення. Сукупність різноманітних n-мірних векторів з дійсними координатами називається n-мірним векторних простором і позначається.

Визначення. Лінійною комбінацією векторів називається сума виду

,

де - дійсні числа. звані коефіцієнтами.

Лінійна комбінація векторів також є вектором, так як вона утворюється з них за допомогою операцій додавання і множення на число.

Визначення. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існує рівна нулю лінійна комбінація цих векторів, тобто . в якій хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля.

Якщо ж все коефіцієнти. то система векторів називається лінійно незалежною.

На питання про лінійну залежність або незалежність системи векторів іноді можна відповісти, використовуючи наступні теореми:

Теорема 1. Для того, щоб система векторів була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб хоча б один з них був представлений у вигляді лінійної комбінації інших.

Теорема 2. В n-вимірному просторі будь-яка система, яка містить більш ніж n векторів, є лінійно залежною.

Теорема 3 .Якщо визначник, складений з координат векторів, відмінний від нуля, то система векторів лінійно незалежна. Якщо зазначені теореми не дають відповіді на питання про лінійну залежність або незалежність векторів, то необхідно вирішувати систему рівнянь відносно. або визначати ранг системи векторів.