Квадратний корінь з комплексного числа »аналітична геометрія f (x)

п.6. Витяг квадратного кореня з комплексного числа. Формула квадратних коренів з комплексного числа.

Надалі нам знадобиться одна числова функція:

Цю функцію називають знаком числа х і Новомосковскется вона так: "Сігнум ікс".

Теорема. Нехай. тоді

(7), де квадратний корінь в дужках є арифметичними квадратними коренями з позитивних чисел.

Доведення. Як ми вже з'ясували існує рівно два квадратних кореня з комплексного числа, причому вони є протилежними числами. Нехай, де. Тоді або. Зведемо в квадрат ліву частину цієї рівності і скористаємося умовами рівності двох комплексних чисел. отримуємо:

Зведемо в квадрат кожне рівняння цієї системи:. Додамо друге рівняння до першого:

Тут - звичайний арифметичний квадратний корінь з позитивного дійсного числа. Далі, якщо отримана система має рішення, то по зворотної теоремі Вієта і є корінням квадратного рівняння. Знаходимо дискримінант. Звідси. Обидва кореня квадратного рівняння виявляються позитивними, тому що очевидно,. При виборі коренів враховуємо рівності (8), а саме. Звідси випливає, що і

. Залишилося правильно вибрати знаки перед знаками радикалів. З рівності (8) випливає, що. Покладемо, тоді, звідки і слід яка доводиться формула. Теорема доведена.

Рішення. Використовуємо тільки що доведену формулу коренів. Тут. Підставляємо в формулу і отримуємо:

Зауваження. Можна не запам'ятовувати формулу (7) з огляду на її громіздкість, а при вирішенні використовувати алгоритм доведення теореми. Вирішимо такому чином попередній приклад.

Нехай. Тоді. Це можливо лише тоді рівні речові і уявні частини обох комплексних чисел:. Зводимо обидва рівняння системи в квадрат:. Додаємо друге рівняння до першого:. Застосовуємо зворотну теорему Вієта:

. Вирішуємо квадратне рівняння:. Так як, то. Приймаємо. Так як, то. Отримали один з двох коренів:. Другий корінь протилежний першому.

Звичайно, цей спосіб, на відміну від першого, займає у нас деякий час, але зате алгоритми запам'ятовуються краще, ніж формули.

Нам буде цікавий окремий випадок формули (7), коли уявна частина числа z дорівнює нулю.

Слідство. Нехай - довільна дійсне число. Тоді має місце наступна формула:

Доказ очевидно, досить підставити в формулу (7) і згадати, що арифметичний квадратний корінь з квадрата дійсного числа дорівнює його модулю:.

Тепер, якщо, то формула (9) дає обидва кореня з позитивного дійсного числа а:.

Не будемо забувати, що квадратний корінь в лівій частині формули (9) позначає все безліч коренів з комплексного числа, а квадратні корені в правій частині формули (9) позначають арифметичні квадратні корені з невід'ємних дійсних чисел. Позначення одне і те ж, за допомогою знака радикала, а сенс різний.

Нехай тепер. Тоді і формула (9) дає рівність:. Тут - арифметичний квадратний корінь з позитивного числа.

Інтерес представляє випадок кореня квадратного з негативного числа. Сформулюємо цей випадок окремо у вигляді слідства.

Слідство. Нехай і. Тоді обидва квадратних кореня з числа z можуть бути знайдені за формулою:

Зауваження. Зверніть увагу на останню рівність:

Це вірне рівність, тобто за визначенням є безліч всіх коренів з числа -1, в той час як рівність невірне, з цієї точки зору! Саме тому не можна переносити властивості коренів з дійсних чисел на корені з комплексних чисел, як показує наступний простий приклад.

Приклад. Знайдіть помилку в наступних перетвореннях:

З іншого боку, легко довести наступну теорему.

Теорема. (Про винесення дійсного множника з під знака кореня.) Нехай, n - довільне натуральне число. тоді

де є звичайний арифметичний корінь з позитивного числа.

Доведення. Рівність (11) тут потрібно розуміти як рівність двох множин: - безліч всіх коренів n-го ступеня з комплексного числа, - безліч всіх коренів n-го ступеня з комплексного числа z,

Звідси випливає і спосіб докази. Ми доведемо, що обидва безлічі складаються з одних і тих же елементів.

Нехай. Тоді. Звідси слідує що . Назад, Нехай. Тоді. Отже,, ч.т.д. Теорема доведена.

Зауваження. Попереднє слідство можна вивести і з тільки що доведеної теореми.

Слідство. Нехай і Тоді.

Доведення. Розглядаємо негативне число а як комплексне число. Тоді доказувана рівність відразу ж випливає з тільки що доведеної теореми:.

Рішення. Застосуємо щойно доведену теорему:.