Квадрат на гіпотенузі

Кажуть, що мистецтво геометрії в тому, щоб робити правильні докази по неправильним кресленнями.

На цій стародавній глиняній табличці зображений квадратний корінь з двох, обчислений до трьох знаків у Шістдесяткова системі, яка використовувалася вавилонянами, близько 1700 року до нашої ери. Фото Білла Кассельман

Вавилонським клинописним числах на сторонах і діагоналі квадрата (ліворуч) відповідають сучасні (праворуч) для квадрата зі стороною 30, у якого обчислюється діагональ. Два написаних числа (в Шістдесяткова системі числення) дають: перше - 1,414212963, добре наближення для квадратного кореня з 2; друге - твір 30 х 1,414212963, довжину діагоналі, обчислену відповідно до теореми Піфагора

Евклід узагальнив ідеї великих математиків-піфагорійців, таких як Архіт, а також роботи Гіппократа, Евдокса і Теетет, доповнив їх своїми власними роздумами і об'єднав в логічній послідовності під назвою «Начала». Ця праця, що складається з 13 коротких книг, став найзнаменитішим підручником у всій історії людства. Це велика скарбниця витончених математичних міркувань, які демонструють міць аксіоматичного методу в дії. Евклід брав за основу чисті аксіоми, або посилки, і, систематично використовуючи правила логічної аргументації, будував докази теорем28. Ця методика скрупульозної дедукції стала зразком для вчених різних напрямів на довгі тисячоліття. Від Фоми Аквінського до Спінози ми спостерігаємо методику аргументації, яка відображає структуру доказів Евкліда. Розвиток філософської думки нерозривно пов'язано з уявленнями філософів і теологів про математику, яку вони вважали частиною абсолютної суті речей, а не просто описом або моделлю реальності.

Аж до початку XIX століття вважалося, що геометрія Евкліда описує дійсне реальне простір. Коли Ріман, Лобачевський, Бойяи і Гаусс сформулювали свої неевклидова геометрії, що описують структуру нелінійних поверхонь, таких як сфера або сідло, це потрясло філософів до глибини душі. Евклідова геометрія раптово стала всього лише однією з багатьох: повних і логічно несуперечливих, заданих своїм власним набором неспростовних аксіом. Таким чином, геометричні відкриття сприяли розвитку релятивистского мислення. Абсолютна істина була відкинута як в геометрії, так і в політиці, релігії і культурології.

Ніхто не сперечається, широта і глибина того впливу, яке справили книги Евкліда, безпрецедентні. Але в його вченні є одна тема, супроводжувана найвідомішим зображенням, яка стала більш відомою всіх інших. Це остання з 48 теорем в першій книзі «Начал»: властивість, властиве всім прямокутним трикутниках і знайоме нам під назвою теореми Піфагора29. Візьмемо будь-який прямокутний трикутник зі сторонами А, В і С, де С - найдовша сторона (гіпотенуза), тоді А2 + В2 = С2.

Одна легенда стверджує, що Піфагор (близько 580-500 року до нашої ери) відкрив цю теорему в палаці Поликрата, правителя-тирана острова Самос. Чекаючи, поки його допустять до правителя, Піфагор розглядав візерунки на підлозі зовнішнього залу палацу. Це була мозаїка з квадратів. Він зауважив, що якщо намалювати діагональну лінію, що розділяє квадрат на два прямокутних трикутника, то площа квадрата, побудованого на діагоналі, буде дорівнює двом площам квадрата, побудованого на бічній стороні. Іншими словами, квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника. Це той випадок, коли в вищенаведеної формулі А = В. Що ж, цікава історія!

В «Засадах» Евклід доводить теорему для більш загальної ситуації, коли А не обов'язково дорівнює В, за допомогою креслення, лінії якого кілька нагадують накидку, якій на весіллі покривали стілець для невести30. Теорема стверджує, що площа квадрата BCED дорівнює сумі площ квадратів АНКС і GABF.

Насправді існують сотні різних доказів теореми Піфагора і ми знаємо, що вона була відома древнім вавилонянам, китайцям, індійцям і єгиптянам задовго до народження Піфагора. Вавилоняни знали, як будувати трикутники з А, В і С, відповідними співвідношенню Піфагора, ще до 1600 року до нашої ери.

На маленькій клинописной табличці, фотографія якої поміщена на початку цієї глави, зображений квадрат і його діагоналі. Накреслені на ній клинописні знаки означають довжини сторін в змішаній десятково-Шістдесяткова системі рахунку, яка використовувалася вавилонянами. Сторона квадрата дорівнює 3 х 10 = 30; знаючи теорему Піфагора, ви припустімо, що довжина діагоналі дорівнює 30 х V2, тобто відношення діагоналі до сторони одно квадратному кореню з 2. Тут, в Шістдесяткова системі (в якій множення на 30 подібно поділу на 2), довжина діагоналі записується як 42; 25,35, а 1; 24,51,10 дорівнює квадратному кореню з 2. Якщо перевести запис з Шістдесяткова системи числення в десяткову, виявиться, що його вавилонське значення дорівнює: 1 + 24/60 + (51/60 2) + ( 10/60 3) = 1,41421296, що є відмінним наближенням, вірним з точністю до шести десяткових знаків (і чотирьох шестидесятеричной знаків).

Теорема Піфагора в одній з ранніх грецьких копій «Начал» Евкліда

Найдавніше з відомих доказів теореми Піфагора є в деякому сенсі оригінальним і красивим. Його можна знайти в найдавнішому з китайських математичних трактатів - «Канон розрахунку чжоуського гномона», деякі частини якого датуються приблизно 600-м роком до нашої ери. Потрібно намалювати чотири однакових прямокутних трикутника зі сторонами А, В і С всередині великого квадрата. Після цього стає очевидним, що площа великого квадрата (А + В) 2 = А2 + В2 + 2АВ дорівнює сумі площ чотирьох трикутників, тобто 4 х 1 / 2АВ плюс площа маленького центрального квадрата С2. Звідси випливає, що А2 + В2 = С2. Або ще простіше - перемістіть чотири трикутники всередині великого квадрата так, щоб вони утворили два прямокутника.

Китайське графічне доказ теореми Піфагора 600 року до нашої ери: площа великого квадрата дорівнює сумі площ чотирьох прямокутних трикутників і маленького квадрата всередині нього

Ви побачите, що площа всередині цього квадрата, не покрита трикутниками, на обох зображеннях буде однаковою, отже, А2 + В2 - С2.

Ми могли б додати, що невірно намальовані креслення можуть бути джерелом серйозних помилок. У Середньовіччі існувало поняття фальсіграфія, тобто неправильно побудовані креслення і докази. Трудомісткий процес копіювання стародавніх манускриптів вручну часто призводив до того, що фігури пропускали або копіювали досить недбало. З тих же причин пропускали іноді і докази, а для ілюстрації рішення теореми приводили тільки обрані креслення. Є також приклади, в яких фігури присутні, але не супроводжуються поясненнями, як в задачнику, де можуть бути поміщені питання, на які потрібно дати відповідь. Бути може, це щось на зразок шпаргалки, як ті, які використовуються для підготовки до іспитів? Або дидактичні матеріали з пропусками, які повинні були заповнити середньовічні студенти?

Схеми і креслення в цьому розділі - не просто відображення довгої історії знаменитої теореми. Вони, як і багато їм подібні, стали предметом запеклих суперечок. У 1934 році невелика компанія французьких математиків, душею якої був Андре Вейль, мала звичай збиратися в кафе «Капулад» в Латинському кварталі Парижа. Вони ставили собі за мету переформулювати різні розділи математики в новій суворої формі, що реалізує властиву їм всім логічну структуру.

Четверта книга Евкліда, рукописний примірник XII століття на латинській мові. Тут формулюються теореми без доказу і даються неповні креслення, щоб студенти могли надписати їх і використовувати для повного докази. Оригінал, складений Аделард Батський, за яким виконана ця копія, не містив доказів. Зверніть увагу, що кожен малюнок містить позначки або знаки, які вказують Новомосковсктелю, до якого твердженням він відноситься. Наприклад, велике коло з маленьким колом всередині (четвертий знизу) відзначений двома галочками, що пов'язує його з шостим твердженням в списку, яке позначено літерою d

Фрагмент рукописи XIV століття, в якій опущені формулювання і доведення теорем Евкліда, але збережені супроводжують креслення, щоб Новомосковсктелі могли придумати докази самостійно. Тут показані різні випадки теореми 3.4 книги III, яка стверджує, що для будь-яких перетинаються хорд кола відрізки однієї з хорд утворюють прямокутник, площа якого дорівнює площі прямокутника, що задається відрізками другої хорди. Різні малюнки ілюструють різні випадки розташування хорд

Перша кніжка- «розкладачка» була присвячена тривимірної геометрії. У першому перекладі Евкліда на англійську мову, виданому в Лондоні в 1570 році під назвою «Начала геометрії найдавнішого філософа Евкліда мегарських, точно (вперше) перекладені на англійську мову Генрі Біллінгслеем», були дотепно використані об'ємні розгортаються ілюстрації.

Тексти Бурбак були розроблені членами гуртка в процесі обговорення і безжальної критики. У них вперше з'явилися різноманітні фрагменти сучасної математичної нотації і термінології, і зараз мало хто усвідомлює, що ми зобов'язані їх існуванню Бурбак. Однак роботи Бурбак справили вплив, яке багато математики, особливо прикладні, вважали руйнівним. Вони спиралися на математичні структури на шкоду завданням і прикладів. У них не було малюнків. Математична інтуїція була, здавалося, укладена в гамівну сорочку аксіоматики. Упор на загальні структури в різних математичних дослідженнях в кінцевому рахунку став впливати на шкільну програму в багатьох країнах, поклавши початок так званої філософії нової математики. Розвиток подій показав, що ця методика була невдалою. Вона пояснювала складні концепції занадто рано, до того ж без вирішення завдань у школярів було складно розвинути математичні навички і сформувати необхідну мотивацію. Не менш важливо, що нова методика не давала батькам можливості допомагати своїм дітям, оскільки вони просто не були знайомі з «нової математикою».

Група Бурбак бажала викорінити практику докази по малюнку, де головну роль в математичних міркуваннях грала схема.

Подібна філософія не була абсолютно новою. Знаменита Чотиритомна «Аналітична механіка» Лагранжа (1788) відрізнялася повною відсутністю креслень і геометричних ідей.

Великий попередник Лагранжа, Ісаак Ньютон, використовував креслення всюди, де вони були корисні, як і ми зараз. Адже ми знаємо, що якщо можливо доказ по малюнку, то є і спосіб формалізувати логіку і застосувати рішення до широкого діапазону прикладів, не обов'язково охоплених цим малюнком і не завжди таких ясних для уявного погляду. Евклід, наприклад, прагнув узагальнити оригінальну теорему Піфагора, замінюючи квадрати на сторонах прямокутного трикутника іншими фігурами.

До 1980 року, після того як основні учасники гуртка Бурбак пішли на пенсію і завершилася млява судова тяжба з видавцями, його діяльність занепала. Більше 20 років минуло без будь-яких помітних публікацій колективу, і його вплив ослаб. Бути може, ми просто занадто любимо картинки? Але цей висновок, мабуть, занадто простий для того, щоб зупинитися на ньому. Бурбак і його неприйняття багатьма математиками продемонстрували, що в математиці дійсно є дві культури. Це ті, хто вважає за краще будувати структури і формалізації високого ступеня узагальненості, і ті, хто любить ставити і вирішувати конкретні завдання (хоча жоден математик не може бути віднесений виключно до одного з цих таборів). Іноді можуть переважати абстрактні методи, і навпаки. Ця розбіжність у думках про те, яка з тенденцій є (або має бути) панівної, мабуть, можна вважати хорошим знаком, який показує, що між ними як і раніше зберігається здорове рівновагу.

Схожі пости:

«Попередній ЗОРЯНА-ЗОРЯНА НІЧ. ГАЛАКТИКА ВОДОВЕРТЬ Наступний »ВІЙНА МИРОВ. марсіанські канали