Курс теоретичної механіки - шпаргалка, сторінка 7

Все те, що змушує механічну систему здійснювати невільний рух, незивается зв'язками.

Як првило, як зв'язки виступають тіла, які не підлягають розгляду в даній задачі, але контактують з тілами даної системи.

Отже, сущуствуют незліченна безліч видів зв'язку.

Відволікаючись від конкретного конструктивного оформлення цих зв'язків, їх зображують схематично у вигляді:

= Підп'ятників і так далі.

Однак, зв'язку можуть бути описані і математично у вигляді рівнянь, які називаються рівняннями зв'язків.

Залежно від виду цих рівнянь, зв'язку діляться на:

Геометричні зв'язку - зв'язку, які накладають обмеження на координати точок системи.

а) двосторонніми (утримують).

Двосторонні зв'язки - зв'язки, які накладають обмеження на взаємно протилежні перемещнія точок системи.

б) односторонніми (неутримуючими)

Односторонні зв'язку - зв'язку, що обмежують переміщення точок системи в одному напрвлении і обмежуємося переміщення їх в протилежному напрвлении.

2. Кінематичні зв'язку - це зв'язку, які накладають обмеження не тільки на координати, але і на швидкості точок.

Залежно від виду рівнянь, зв'язку діляться на:

а) голономні (вчинені) зв'язку - це зв'язку, рівняння яких можуть бути проінтегрувати.

В результаті інтегрування кінематична зв'язок переходить в геометричну.

б) неголономні (недосконалі) зв'язку - це зв'язку, рівняння яких не можуть бути проінтегрувати.

До аток котиться без ковзання.

3. Склерономние (стаціонарні) зв'язку - це зв'язку, в рівняннях яких час t явно не входить.

4. Реономние (нестаціонарні) зв'язку - це зв'язку, в ураненіе яких входить параметр - час t.

Принцип можливих переміщень.

Принцип можливих переміщень дозволяє в найбільш загальному вигляді визначити умови рівноваги будь-якої механічної системи.

Вільна матеріальна точка - така точка, переміщення якої в просторі нічим не обмежена.

Вільна механічна система - це система, що складається з вільних матеріальних точок.

Приклад: сонячна система.

Невільна матеріальна точка - така точка, переміщення якої в просторі обмежена.

Невільна механічна система - це система, що складається з невільних матеріальних точок.

Будь-який механізм - невільна механічна система.

Можливі і дійсні переміщення.

Можливі (віртуальні) переміщення - уявні малі переміщення точок системи, що допускається зв'язками, накладеними на систему в даний момент часу.

Таким чином, можливі переміщення не залежить від діючих на систему сил. є величини нескінченно малого порядку і не порушують зв'язків, накладених на систему.

Дійсні переміщення - переміщення точок системи під дією прикладених сил.

Число ступенів свободи.

У загальному випадку для будь-якої системи можна вказати безліч можливих переміщень, але у кожної системи можна вказати обмежену кількість таких можливих переміщень, які є незалежними один від одного, і дозволяють визначити положення всіх точок системи. Таким чином, число незалежних можливих переміщень, однозначно визначають положення системи, називається числом ступенів свободи системи.

Ідеальна зв'язку - це зв'язку, для яких сума елементарних робіт реакцій зв'язку на будь-якому можливому переміщенні дорівнює нулю.

а) ідеальна гладка поверхня ()

б) абсолютно тверда шороховатостей поверхню при коченні по ній твердого тіла без ковзання

, так як точка К - миттєвий центр швидкостей.

в) робота реакції шарніра без урахування сил тертя

г) абсолютно тверде тіло і зв'язок за допомогою гнучкої нерастяжимой нитки

Принцип можливих переміщень дозволяє визначати умови рівноваги будь-якої системи, расматрівая її в цілому.

Для рівноваги механічної системи, на яку накладено стаціонарні, двосторонні, голономні, ідеальні зв'язку необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт, що діють на систему сил на будь-якому можливому переміщенні системи з займає положення була б дорівнює нулю.

Загальне рівняння динаміки.

При виведенні загального рівняння динаміки послідовно використовується спочатку принцип Даламбера, а потім принцип можливих переміщень.

Принцип Даламбера полягає в тому, що для будь-якої системи, що рухається в будь-який момент часу геометрична сума активних сил, реакцій зв'язків і сил інерції дорівнює нулю.

Тобто, під дією зазначених сил система знаходиться в рівновазі. Далі, оскільки система знаходиться в рівновазі, то, згідно з принципом можливих переміщень сума елементарних робіт, що діють на систему сил на будь-якому можливому переміщенні повинна бути дорівнює нулю.

Вважаючи, що зв'язку, накладені на систему є ідеальними, тобто, отримаємо: або.

По суті, це є диференціальне рівняння ІІ порядку і дозволяє вивчати рух будь-механічної системи. Для цього введемо поняття узагальнених координат q і узагальнених сил Q.

Відомо, що положення системи визначається числом незалежних можливих переміщень. Оскільки ці можливі переміщення - є величини нескінченно малого порядку, то вони є варіаціями деяких параметрів, незалежних один від одного, і також визначають положення сстеми. Таким чином, незалежних параметри, однозначно визначають положення, називаються узагальненими координатами (q). Узагальнені координати можуть мати різний фізичний зміст.

Похідна від узагальненої координати - є узагальнена швидкість. розмірність якої залежить про розмірності ообщённой координати.

Таким чином, якщо положення системи визначається узагальненими координатами, то система має S ступенів свободи.

Розглянемо систему, що складається з n числа точок, що має S ступенів свободи:

Повідомимо системі таке можливе переміщення, при якому узагальнена можлива координата q. отримає можливе переміщення, а решта узагальнені координати залишаться без зміни.

, де індекс «1» означає, що дане збільшення радіус-вектора отримано за рахунок зміни узагальненої координати q1.

Оскільки інші узагальнені координати залишилися без зміни, то

Знайдемо елементарну роботу сил на цьому можливе переміщення:

- є узагальнена сила. відповідна узагальненої координаті q1. тобто це така сила, яку потрібно прикласти до системи, щоб узагальнена координата q1 отримала б можливе переміщення δq1. а інші узагальнені координати залишилися б без зміни.

Повідомимо системі таке можливе переміщення, при якому узагальнена координата q2 отримає відповідну зміну δq2. а інші узагальнені координати залишаться без зміни.

Повідомимо системі таке можливе переміщення, при якому всі узагальнені координати отримають відповідні збільшення. тоді:

Випадок сил, що мають потенціал:

Нехай система, що складається з n числа точок і має S ступенів свободи, знаходиться в потенційному силовому полі, тобто існує силова функція U. яка залежить від координат точок.

Оскільки система має S ступенів свободи, то її статус визначається узагальненими координатами.

Підставами вираз (4) в вираз (3).

Повідомимо системі таке можливе переміщення, при якому всі узагальнені координати отримають відповідні збільшення і знайдемо приріст силової функції:

При цьому елементарна робота сил поля:

Так як, то, порівнюючи (5) і (6), отримаємо, що:

Оскільки, то отримаємо:

Таким чином, якщо сили. діючі на систему, є потенційними, то узагальнені сили рівні приватним похідним від потенційної енергії П по відповідним узагальненим координатам, взятими з протилежним знаком.

Умова рівноваги механічної системи в узагальнених координатах.

Відомо, що для рівноваги системи з ідеальними зв'язками необхідно і достатньо, щоб або. (7)

Оскільки варіації узагальнених координат є незалежними один від одного і, в загальному випадку, не рівні нулю, потрібно, щоб.

Для рівноваги системи з голономних утримують, стаціонарними, ідеальними зв'язками необхідно і достатньо, щоб всі узагальнені сили, відповідні обраним узагальнені координати були б нульовими.

Випадок потенційних сил:

Якщо система знаходиться в потенційному силовому полі, то

Тобто положення рівноваги системи можуть бути тільки при тих значеннях узагальнених координат, при яких силова функція U і потенційна енергія П мають екстремальні значення (max або min).

Поняття про стійкість рівноваги.

Визначивши положення, в яких система може перебувати в рівновазі, можна визначити які з цих положень реалізовані, а які не реалізовуються, тобто визначити: яке становище є є стійким, а яке - нестійким.

У загальному випадку необхідний ознака стійкості рівноваги по Ляпунову можна сформулювати наступним чином:

Виведемо систему з положення рівноваги, повідомивши невеликі по модулю значення узагальнених координат і їх швидкостей. Якщо при подальшому розгляді системи узагальнені координати і їх швидкості залишатимуться по модулю малимівелічінамі, тобто система не буде далеко відхилятися від положення рівноваги, то такий стан рівноваги - стійко.

Достатня умова стійкості рівноваги системи визначається теоремою Лагранжа-Діріхле:

Якщо в полоденіі рівноваги механічної системи з ідеальними зв'язками потенційна енергія має мінімальне значення, то такий стан рівноваги - стійке.