Криволінійна трапеція і її площа

Криволінійної трапеції ТА ЇЇ ПЛОЩА

В математиці розроблені методи, що дозволяють обчислювати площі фігур, межі яких складаються з кривих ліній, наприклад частин парабол, синусоид і ін. (Якщо, звичайно, площі цих фігур існують). Тепер, використовуючи знання про первісної функції можна навчитися знаходити площі фігур, які називаються криволінійними трапеціями. На малюнках штрихуванням виділені різні криволінійні трапеції.

Криволінійної трапецією називається фігура, обмежена графіком безперервної і не змінює на відрізку [а; b] знака функції f (х), прямими х = а, x = b і відрізком [а; b].

Розглянемо криволінійну трапецію, обмежену графіком функції f (х). прямими х = а, х = b і відрізком осі абсцис. Спочатку розглянемо випадок f (х)> 0.

Нехай x [a; b]. Площа криволінійної трапеції, заштрихованої на малюнку, є функція від х. Позначимо її через S (х). Нижче буде показано, що S '(х) = f (х). Це рівність означає, що змінна площа S (х) є первісна для функції f (x). Тому площа криволінійної трапеції S може бути обчислена за допомогою інтегрування. З малюнка видно, S (а) = 0, так як заштрихованная фігура при х = а перетворюється в відрізок, S (b) = S є площа даної криволінійної трапеції.

У разі f (х) <0 вычисление площади криволинейной трапеции будем заменять вычислением площади трапеции, симметричной данной относительно оси абсцисс. Такая криволинейная трапеция ограничена прямыми x=а, x=b, осью абсцисс, графиком функции у =-f(х), принимающей положительные значения на рассматриваемом промежутке.