Кратні власні значення і канонічні форми матриць загального вигляду

6. Структура системи власних векторів матриці, у якій одно- або більше власних значень кратні, може бути далеко не так проста, як описано вище. Може все ж виявитися, що існує перетворення подібності, яке призводить А до діагональної формі. Якщо це такго то для деякої неособенной ми маємо

Числа повинні бути власними значеннями А, і кожне має зустрічатися з відповідною кратністю. дійсно,

і, беручи визначник від обох частин, отримуємо

Тому суть коріння характеристичного рівняння А. Записавши (6.1) у вигляді

ми бачимо, що стовпці є власними векторами А. Так як неособлива, її стовпці лінійно незалежні. Якщо, наприклад, - дворазовий корінь, то, позначаючи перші два стовпці через і отримаємо

де лінійно незалежні. З рівнянь (6.6) випливає, що будь-який вектор з підпростору, натягнутого на також є власним вектором. дійсно,

Збіг коренів у матриці, яку можна привести до діагональної формі перетворенням подібності, призводить до невизначеності власних векторів, відповідних кратному кореню. Ми все ж можемо вибрати в цьому випадку систему власних векторів, на які натягнуто все -мірним простір і які можна використовувати в якості базису для подання довільного вектора. Так, діагональна матриця

має п'ять лінійно незалежних власних векторів Будь-яка лінійна комбінація це власний вектор, що відповідає і будь-яка лінійна комбінація і власний вектор, що відповідає Для кожної матриці, подібної існує неособлива така, що

і власні вектори А суть Будь-яка лінійна комбінація перших двох буде власним вектором, відповідним і будь-яка лінійна комбінація третього і четвертого - власним вектором, відповідним