Кошеня на сходах

Перехід між слайдами - стрілочками.

Сходи, що стояла на гладенькій підлозі біля стіни, зісковзує вниз (весь час торкаючись стіни). По якій лінії рухається кошеня, що сидить на середині сходів?

Виникає припущення: шукана лінія - дуга окружності. Але як це довести?

Добудуємо трикутник зі сходів і кута до прямо-кутника.

Діагоналі прямокутника рівні і діляться точкою перетину навпіл.

Тобто можна вважати, що кошеня сидить на середині зеленої сходи, кінець якої закріплений біля стіни.

Отже, ми довели, що кошеня рухається по колу.

Перейдемо до іншої задачі, на перший погляд ніяк не пов'язаної з першою.

По нерухомій окружності, торкаючись її зсередини, котиться без проковзування окружність вдвічі меншого радіуса.

По якій траєкторії рухається фіксована точка на меншій окружності?

Відповідь в цьому завданні до подиву простий: точка рухається по прямій - а точніше, по діаметру нерухомою кола.

(Цей результат називається теоремою Коперника.)

В деякий момент окружності торкнуться в зазначеній точці. Позначимо через $ A $ відповідну точку на великому колу.

Прокотимо ще трохи меншу окружність.

Так як прослизання немає,
сині дуги однакової довжини.

Раз довжини дуг $ KT $ і $ AT $ рівні, а радіус рухомий окружності вдвічі менше, $ \ angle KQT = 2 \ angle AOT $.

А $ \ angle KOT $ по теоремі про кут, вписаний вдвічі менше, $ \ angle KOT = \ angle AOT $. Тобто точка $ K $ лежить на радіусі $ OA $.

Це міркування працює аж до моменту, коли точка $ K $ збігається з точкою $ O $.

Це міркування працює аж до моменту, коли точка $ K $ збігається з точкою $ O $. У цей момент кут $ AKT $ стає прямим.

Далі довжина синьої дуги стає більше половини довжини меншою окружності, і наше міркування потребує невеликої модифікації.

Ми отримуємо, що $ \ angle KOT = 180 ^ \ circ- \ angle AOT $
і точка $ K $ все одно лежить на прямій $ AO $.

Теорема Коперника доведено.

Виявляється, теорема Коперника безпосередньо пов'язана із завданням про кошеня на сходах!

Подивимося як зісковзує стоїть біля стіни кутник.

Ми вже знаємо, що середина його гіпотенузи рухається по колу.

А як рухається вершина його прямого кута?

Подивимося як зісковзує стоїть біля стіни кутник.

Доведемо, що вершина його прямого кута рухається по прямій.

Опишемо навколо кутника окружність. Як випливає з завдання про кошеня, вона проходить через початок координат.

Тому два зазначених кути рівні як вписані. А раз кут між стіною і напрямком на синю точку постійний (він дорівнює куту косинця), вона рухається по прямій.

Додамо на малюнок коло вдвічі більшого радіусу.

Коли маленька окружність котиться по великій, чорні вершини їдуть по «стіні» і «напів» в силу теореми Коперника.

З тієї ж причини синя вершина також рухається по прямій.

Кошеня тепер сидить в центрі меншою окружності (який, очевидно, рухається по колу).

А яку фігуру при такому русі замітає вся сходи?

Видно, що це зовсім не вся внутрішність кола.

Крива, що обмежує це безліч точок, - астроїда.

Вона виходить як траєкторія точки, якщо катати всередині великого кола окружність вчетверо меншого радіуса.

Про астроїда і про те, чому вона з'являється в цьому завданні, теж можна дізнатися з книги «Прямі та криві».

За мотивами книги «Прямі та криві»
Н. Б. Васильєва та В. Л. Гутенмахера.

Картинки - М. Панов.
Розмови - Г. Мерзон, М. Панов.