Коротка теорія

До простих типів інтегрованих диференціальних рівнянь другого порядку відносяться рівняння, для яких функція, що стоїть в правій частині формули (12.32), залежить чи тільки від х. або тільки від у. або тільки від у ',

тобто рівняння виду:

Загальне рішення рівняння (12.37) знаходиться дворазовим інтеграцією.

Рівняння (12.38) інтегрується постановкою

яка дає можливість звести його до рівняння із перемінними y і p:

З останнього рівняння визначається p. а з рівняння y '= p - загальний інтеграл Ф (x, y, C1, C2) = 0.

Рівняння (12.39) підстановкою (12.40) зводиться до рівняння із перемінними х і p:

У деяких випадках диференціальні рівняння другого порядку зводяться до рівнянь першого порядку.

підстановкою (12.40) наводиться до рівняння

з невідомою функцією p.

тієї ж підстановкою зводиться до рівняння

де роль невідомої змінної грає у.

1. проинтегрировал рівняння у '' = cos x.

Так як то. dy '= cos xdx,

Інтегруючи ще раз, отримуємо:

2. Знайти загальний розв'язок рівняння y '' = 2y '.

Права частина даного рівняння залежить тільки від у '. Це рівняння виду (12.39).

Вважаючи у '= p. знаходимо:

3. проинтегрировал рівняння

Це рівняння виду (12.41), так як в нього явно не входить шукана функція y.

Покладемо y '= p. тоді

і рівняння набуває вигляду або (1 + x 2) dp-2xp dx = 0.

Поділяючи змінні, отримаємо

Так як то і, отже, спільне рішення визначається формулою

Зауваження. Поділяючи змінні, ми припускали, що p ≠ 0,

1 + x 2 ≠ 0. тому могли втратити рішення p = 0. 1 + x 2 = 0.

З першої рівності випливає, що y '= 0 і y = C. Функція y = C є рішенням вихідного рівняння, в чому можна переконатися безпосередньо.

Ці рішення виходять із загального рішення при C 1 = 0. Друге рівність неможливо при дійсних x. воно не визначає функцію, що є рішенням даного рівняння.

4. проинтегрировал рівняння yy '' - y '2 = 0.

Це рівняння виду (12), так як воно не містить явно аргументу x.

Покладемо y '= p. тоді

Підставляючи вирази для y 'і y' 'в вихідне рівняння, отримаємо

рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними y і p:

Поділяючи змінні, отримаємо

Так як p = y '. то. Інтегруючи це рівняння, отримуємо

Зауваження. Рішення y = 0, y = C (y '= 0) виходять із загального рішення відповідно при C2 = 0 і C1 = 0.

Проінтегрувати диференціальні рівняння другого порядку: