Координати центру мас

§ 2.12. Координати центру мас

У просторі, де введена прямокутна система координат, нехай задана матеріальна точка з масою. Статичним моментом цієї точки відносно площини називається твір, і позначається символом

Статичний момент відносно площини кінцевої системи матеріальних точок з масами визначається рівністю

Нарешті, якщо маса розподілена по деякому безлічі, то статичний момент тіла відносно площини визначається як інтеграл,

де - щільність розподілу маси.

Центр ваги тіла має координати визначаються рівностями

Зокрема, якщо і є криволінійна трапеція в площині обмежена зверху графіком функції і знизу віссю, рівномірно заповнена масами з щільністю, то (ріс.57)

У правій частині (1) варто обсяг тіла, отриманого від обертання криволінійної трапеції близько осі.

Таким чином, ми отримали відому теорему Гюльдіна: обсяг тіла обертання криволінійної трапеції дорівнює її площі, помноженої на довжину окружності, описуваної центром мас (тяжкості) цієї трапеції близько осі.

Якщо є однорідна крива, то

де - довжина кривої в межах - елемент довжини дуги. Так як, то

У правій частині (2) варто площа поверхні обертання кривої близько осі. Таким чином, рівність (2) дає іншу теорему Гюльдіна: площа поверхні обертання кривої, дорівнює довжині її дуги, помноженої на довжину окружності, описуваної центром мас цієї дуги близько осі.

Теореми Гюльдіна дозволяють по двом відомим величинам знаходити третю. Наприклад, якщо відомі координати центру ваги і об'єм тіла обертання, то можна визначити площу криволінійної трапеції і т. Д.

Приклад 1. Знайти координати центра ваги криволінійної трапеції (рис. 58).

Нехай - центр ваги. В силу симетрії ясно, що (ми вважаємо). Знайдемо площу трапеції:

Обсяг тіла, отриманого від обертання близько осі дорівнює

На підставі першої теореми Гюльдіна

Приклад 2. Знайти об'єм тіла, отриманого від обертання кола з центром в точці, радіуса, близько осі (рис. 59).

Ясно, що центр ваги кола (однорідного) збігається з його геометричним центром, т. Е.. Площа кола . Тому по першій теоремі Гюльдіна

Приклад 3. Знайти площу поверхні тіла обертання, розглянутого в прикладі 2.

Дану поверхню можна розглядати як поверхня, отриману від обертання кола близько осі. Довжина цієї окружності дорівнює. Тому по другій теоремі Гюльдіна

(Центр ваги однорідної окружності також збігається з центром цього кола).

Приклад 4. Знайти центр ваги однорідного півкола; півкола.

Відомо, що об'єм кулі радіуса дорівнює, а площа поверхні кулі дорівнює. За формулою (1) отримуємо (рис. 60)

де - ордината центра ваги півкола.

За формулою (2) для ординати центра ваги півкола маємо

Моменти. Моментом -го порядку матеріальної точки з масою відносно площини називається твір

Якщо маси розподілені по вимірному безлічі з щільністю, то

Якщо, то відповідний момент другого порядку називається моментом інерції.

Крім того, можна розглядати моменти -го порядку тіла щодо початку координат

щодо осі. Наприклад, момент -го порядку щодо осі запишеться