Коло, описане близько прямокутного трикутника

Визначення та формули описаного кола прямокутного трикутника

Коло, описане навколо трикутника. містить всі вершини трикутника.

Центр описаного кола лежить на перетині серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника.

Розглянемо прямокутний трикутник. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи, а радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи

Для прямокутного трикутника справедлива теорема синусів:

де - радіус описаного навколо прямокутного трикутника окружності, - катети цього трикутника, - його гіпотенуза, - гострі кути трикутника.

Приклади розв'язання задач

У прямокутному трикутнику один з катетів на 2 см більше іншого. Знайти площу трикутника, якщо радіус описаного кола дорівнює 5 см.

Розглянемо прямокутний трикутник з (рис. 1). Нехай катет, тоді. Оскільки радіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи, то гіпотенуза. Запишемо теорему Піфагора для розглянутого прямокутного трикутника:

Вирішуючи квадратне рівняння, отримуємо, тобто , А см. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині твори катетів, тобто

У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, ділить прямий кут в плані. Знайти катети трикутника.

Розглянемо прямокутний трикутник і проведемо медіану. Так як центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, знаходиться на середині гіпотенузи, то медіана є радіусом описаного кола і

Нехай, тоді з умови задачі випливає, що і

Звідси отримуємо, що.

Оскільки, то - рівнобедрений, а значить і

А це означає, що - рівносторонній, тобто . Тоді по теоремі Піфагора