Коло і еліпс

Окружністю називається замкнута плоска крива, всі точки якої рівновіддалені від заданої точки (центра кола). Відстань від будь-якої точки окружності \ (P \ left (\ right) \) до її центру називається радіусом. Центр кола і сама окружність лежать в одній і тій же площині. Рівняння кола радіуса \ (R \) з центром на початку координат (канонічне рівняння кола) має вигляд
\ (+ = \).

Рівняння кола радіуса \ (R \) з центром у довільній точці \ (A \ left (\ right) \) записується як
\ (\ Right) ^ 2> + \ right) ^ 2> = \).

Рівняння кола в параметричної формі
\ (\ Left \<\begin x &= R \cos t \\ y &= R\sin t \end \right. \;\;0 \le t \le 2\pi\),
де \ (x \), \ (y \) - координати точок кола, \ (R \) - радіус кола, \ (t \) - параметр.

Загальне рівняння кола
\ (A + A + Dx + Ey + F = 0 \)
за умови \ (A \ ne 0 \), \ (D ^ 2 + E ^ 2> 4AF \).
Центр кола розташований в точці з координатами \ (\ left (\ right) \), де
\ (A = - \ large \ frac> \ normalsize, \; \; b = - \ large \ frac> \ normalsize. \)
Радіус кола дорівнює
\ (R = \ sqrt + - 4AF >>> \ normalsize> \)

Еліпсом називається плоска крива, для кожної точки якої сума відстаней до двох заданих точок (фокусів еліпса) постійна. Відстань між фокусами називається фокусною відстанню і позначається через \ (2c \). Середина відрізка, що з'єднує фокуси, називається центром еліпса. У еліпса є дві осі симетрії: перша або фокальна вісь, що проходить через фокуси, і перпендикулярна їй друга вісь. Точки перетину цих осей з еліпсом називаються вершинами. Відрізок, що з'єднує центр еліпса з вершиною, називається полуосью еліпса. Велика піввісь позначається через \ (a \), мала піввісь - через \ (b \). Еліпс, центр якого знаходиться на початку координат, а півосі лежать на координатних прямих, описується наступним канонічним рівнянням.
\ (\ Large \ frac >>>> \ normalsize + \ large \ frac >>>> \ normalsize = 1. \)

Сума відстаней від будь-якої точки еліпса до його фокусів постійна:
\ (+ = 2a \),
де \ (\), \ (\) - відстані від довільної точки \ (P \ left (\ right) \) до фокусів \ (\) і \ (\), \ (a \) - велика піввісь еліпса.

Співвідношення між півосями еліпса і фокусною відстанню
\ (= + \),
де \ (a \) - велика піввісь еліпса, \ (b \) - мала піввісь, \ (c \) - половина фокусної відстані.

ексцентриситет еліпса
\ (E = \ large \ frac \ normalsize 0 \).

периметр еліпса
\ (L = 4aE \ left (e \ right) \),
де \ (a \) - велика піввісь еліпса, \ (e \) - ексцентриситет, \ (E \) - повний еліптичний інтеграл другого роду.

Наближені формули для периметра еліпса
\ (L \ approx \ pi \ left [\ normalsize \ left (\ right) - \ sqrt> \ right], \; \; L \ approx \ pi \ sqrt +> \ right)>, \)
де \ (a \), \ (b \) - півосі еліпса.

Площа еліпса
\ (S = \ pi ab \)