Класи еквівалентності - студопедія

Нехай на безлічі М задано відношення еквівалентності R. Здійснимо побудову класів еквівалентності, на які розбивається безліч М цим ставленням.

Виберемо елемент і утворюємо клас (підмножина М). що складається з і всіх елементів, еквівалентних; потім виберемо елемент. і утворюємо клас. що складається з і всіх елементів, еквівалентних і т. д. Чи вийде система класів (можливо нескінченна) така, що будь-який елемент з М входить хоча б в один клас, т. е..

Ця система має властивості:

1) вона утворює розбиття, т. Е. Класи попарно не перетинаються;

2) будь-які два елементи з одного класу еквівалентні;

3) будь-які два елементи з різних класів нееквівалентний.

Визначення. Потужність системи класів еквівалентності називається індексом розбиття.

З іншого боку, будь-який розбиття М на класи визначає певне відношення еквівалентності, а саме: "входити в один і той же клас даного розбиття".

а) всі класи еквівалентності по відношенню рівності Е складаються з одного елемента;

б) формули, що описують одну й ту ж елементарну функцію, знаходяться в одному класі еквівалентності по відношенню равносильности. У цьому прикладі лічильно саме безліч формул, безліч класів еквівалентності (т. Е. Індекс розбиття) і будь-який клас еквівалентності теж рахункове безліч;

в) розбиття множини трикутників по відношенню конгруентності має континуальний індекс, будь-який клас також має потужність континууму;

г) розбиття N по відношенню "мати загальний залишок від ділення на 7" має кінцевий індекс 7 і складається з 7 рахункових класів.

0, 7, 14, 21, 28.; 1, 8, 15, 22, 29.;. ; 6, 13, 20, 27.