Якщо ввести в розгляд матрицю коефіцієнтів прямих витрат a a

Якщо ввести в розгляд матрицю коефіцієнтів прямих витрат A = (aij), вектор-стовпець валової продукції X = (Xi) і вектор-стовпець кінцевої продукції Y = (Yi), то математична модель міжгалузевого балансу набуде вигляду:

Ідея збалансованості лежить в основі будь-якого раціонального функціонування господарства. Суть її в тому, що всі витрати повинні компенсуватися доходами господарства. В основі створення балансових моделей лежить балансовий метод - взаємне зіставлення наявних ресурсів і потреб в них.

Міжгалузевий баланс відображає виробництво і розподіл валового національного продукту в галузевому розрізі, міжгалузеві виробничі зв'язки, використання матеріальних і трудових ресурсів, створення і розподіл національного доходу.

Нехай економіка країни має n галузей матеріального виробництва. Кожна галузь випускає деякий продукт, частина якого споживається іншими галузями (проміжний продукт), а інша частина - йде на кінцеве споживання і накопичення (кінцевий продукт).

Позначимо через Xi (i = 1..n) валовий продукт i -й галузі; xij - вартість продукту, виробленого в i -й галузі і спожитого в j -й галузі для виготовлення продукції вартістю Xj; Yi - кінцевий продукт i -й галузі.

Критерії продуктивності матриці А

Існує кілька критеріїв продуктивності матриці А.

1. Матриця А продуктивна, якщо максимум сум елементів її стовпців не перевищує одиниці, причому хоча б для одного з стовпців сума елементів строго менше одиниці.

2. Для того щоб забезпечити позитивний кінцевий випуск по всіх галузях необхідно і достатньо, щоб виконувалася одна з перерахованих нижче умов:

3. Визначник матриці (E - A) не дорівнює нулю, тобто матриця (E- A) має зворотну матрицю (E - A) -1.

4. Найбільше по модулю власне значення матриці А, тобто рішення рівняння | λE - A | = 0 суворо менше одиниці.

5. Всі головні мінори матриці (E - A) порядку від 1 до n, позитивні.

Матриця A має невід'ємні елементи і відповідає критерію продуктивності (при будь-якому j сума елементів стовпця Σaij ≤ 1.

I. Визначимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат наближено. враховуючи непрямі витрати до 2-го порядку включно.

а) Матриця коефіцієнтів непрямих витрат 1-го порядку дорівнює:

б) Матриця коефіцієнтів непрямих витрат 2-го порядку дорівнює:

Матриця коефіцієнтів повних витрат приблизно дорівнює:

II. Визначимо матрицю коефіцієнтів повних витрат точно за допомогою формул звернення невироджених матриць.

Коефіцієнт повних витрат (bij) показує, скільки продукції i-й галузі потрібно зробити, щоб з урахуванням прямих і непрямих витрат цієї продукції отримати одиницю кінцевої продукції j-й галузі.

Повні витрати відображають використання ресурсу на всіх етапах виготовлення і дорівнюють сумі прямих і непрямих витрат на всіх попередніх стадіях виробництва продукції.

а) Знаходимо матрицю (E-A):

б) Обчислюємо зворотну матрицю (E-A) -1:

Запишемо матрицю у вигляді:

Δ = 0.696 • (0.896 • 0.77 - (- 0.211 • (-0.115))) - (- 0.205 • (-0.128 • 0.77 - (- 0.211 • (-0.06)))) + (- 0.08 • (-0.128 • (-0.115) -0.896 • (-0.06))) = 0.43501738