Як вписати коло в прямокутний трикутник - вписана окружність в прямокутному трикутнику -

Знайдіть точку, яка буде центром вписаного кола. Вона повинна лежати на перетині биссектрис кутів в вершинах трикутника, тому спочатку прикладіть транспортир до одного з кутів, визначте його величину і поставте допоміжну точку на позначці, яка дорівнює половині цієї величини. Проведіть відрізок з вершини цього кута - він повинен пройти через допоміжну точку і закінчитися на протилежній стороні. Таким же способом побудуйте бісектрису іншого кута. Точка перетину двох допоміжних відрізків буде центром вписаного кола.

Визначте радіус кола. Для цього проведіть ще один допоміжний відрізок. Він повинен починатися в знайденої точці, закінчуватися на одному з катетів і бути паралельним іншому катету. Довжина цього відрізка і буде радіусом вписаного кола - відкладіть її на циркулі і накресліть коло з центром в знайденої точці. На цьому побудова буде завершено.

Можна накреслити вписану окружність по-іншому - з використанням формули з курсу елементарної геометрії. Для цього вам потрібно знати довжини всіх сторін - виміряйте їх. Потім розрахуйте радіус (r) - складіть довжини катетів (a і b), відніміть від результату довжину гіпотенузи (c), а те, що вийшло, поділіть навпіл: r = (a + b-c) / 2. Відкладіть знайдену величину на циркулі і до кінця побудови не міняйте цієї відстані.

Встановіть циркуль в вершину прямого кута і накресліть допоміжну дугу - вона повинна перетинати обидва катета. Власне, тільки точки перетину вам і потрібні, тому замість дуги можна просто поставити мітки на катетах. Ці мітки вказують точки дотику вписаного кола і сторін трикутника.

Встановіть циркуль в кожну з точок дотику і проведіть два півкола, що лежать всередині трикутника. Точка їх перетину буде центром вписаного кола - встановіть в неї циркуль і проведіть вписаний в прямокутний трикутник коло.

Якщо все вершини трикутник а лежать на одному колі, то в цьому випадку він називається вписаним, а окружність, відповідно - описаної навколо нього. Побудувати трикутник на відомій кола дуже просто, але як вписати трикутник в коло, якщо спочатку існує саме він?

Для будь-якого трикутника завжди можливо побудувати описану окружність, оскільки ця крива однозначно визначається трьома заданими точками.

Щоб це виявити, досить припустити, що трикутник заданий декартовими координатами своїх вершин. У цьому випадку радіус і координати центру кола, що проходить через всі три точки, повинні бути рішеннями системи з трьох рівнянь другого ступеня з трьома невідомими.

Ця система буде мати єдине рішення в тому випадку, якщо задані точки не лежать в одній прямий (в цьому останньому випадку вона зовсім не має рішень). Але три точки, що лежать на одній прямій, не можуть бути вершинами трикутника, отже, цей випадок можна навіть не розглядати. Отже, рішення свідомо існує.

Щоб трикутник був вписаний в коло, очевидно, потрібно, щоб її центр знаходився на рівній відстані від усіх трьох його вершин. Завдання, таким чином, зводиться до знаходження центру описаного кола.

Сторона вписаного трикутника буде хордою описаного кола. Для будь-якої такої хорди існує перпендикулярний до неї радіус, причому точка їх перетину ділить хорду рівно навпіл.

Отже, будь-який серединний перпендикуляр трикутника (тобто пряма, що проходить через середину його боку і перпендикулярна їй) проходить через центр описаного кола. Досить провести два таких перпендикуляра, і точка їх перетину буде центром. Радіус же описаного кола однозначно визначається відстанню до будь-якої з вершин.

Процедура розподілу відрізка навпіл циркулем і лінійкою являє собою, по суті, побудова серединного перпендикуляра. Таким чином, завдання знаходження центру описаного кола зводиться до поділу циркулем і лінійкою двох сторін трикутника.

Якщо заданий трикутник - прямокутний, то центр описаного кола збігається з серединою його гіпотенузи.