Як вивернути сферу навиворіт, або Парадокс Смейла - - замітки про - теоретичній фізиці

Як вивернути сферу навиворіт, або парадокс Смейла

Уявімо, що «звичайна» двовимірна сфера S 2 зроблена з еластичного матеріалу, який може проходити крізь себе. Чи можна вивернути сферу навиворіт в звичайному тривимірному просторі $$ \ mathbb ^ 3 $$ без зламів і розривів, але з можливим самоперетинів (тобто в класі занурень)?

Стівен Смейл в 1958 році довів, що це можна зробити. Точніше, він довів наступне твердження:
Нехай є стандартне вкладення $$ f: S ^ 2 \ longrightarrow \ mathbb ^ 3 $$, тоді існує безперервне однопараметричне сімейство гладких занурень $$ f_t: S ^ 2 \ longrightarrow \ mathbb ^ 3,

І, нарешті, питання: чи можна «вивернути» окружність в площині, тобто знайти безперервне сімейство занурень, як вище?

Цікаво. Приходить в голову наступна річ. Уявімо сферу у вигляді стереографической проекції - площину з нескінченністю. Тоді вивертання сфери навиворіт виглядає просто як «згортання» площини в іншу сторону, тобто з іншою орієнтацією. Тут десь діра в міркуваннях, так?

Ну справа в тому, що стереографічна проекція на увазі виділення точки на сфері, якої не відповідає нічого на площині, а це змінює правила гри, адже за умовами сферу не можна розривати, в точності і точку виколювати не можна.

Ну в принципі я підозрював що там слабке місце з нескінченно віддаленою точкою. Хотів просто знати незалежну думку;).

Миша, хотілося б почути, чи зустрічаються K3 поверхні в теорії струн, і якщо так, то як саме вони там виникають?

Так, зустрічаються іноді. В контексті компактификации. K3 має групу голономій $$ SU (2) \ subset SU (2) \ times SU (2) $$ і тому зберігає половину суперсиметрії. Феноменологически такі моделі не дуже цікаві, але люди все одно розглядають їх.

Я вивертаю сферу без зламів ще простіше, ніж фільмі. Треба увіткнути пальцем частина поверхні сфери всередину. Цю внутрішню частину сфери повернути на 180 градусів, при цьому отвір закриється без перегинів. Меридіани сфери, колишні колами, перетворяться в «вісімки» з меншою головкою всередині більшої. Далі роздмухуємо внутрішній майже кульку до тих пір, поки не просочиться назовні. Природно вид його виявиться вивернутим. Залишається те, що було більшою частиною, а тепер стала меншою в порівнянні з роздутою, розгорнути на 180 градусів. Затягнуте отвір розкриється, вм'ятину распрямляем, і мета досягнута!

Тут виходить точка стає нескінченністю, а нескінченність точкою. Або, «однаковість всесвіту»: що всередину, що назовні.
Тому виникає парадигма - мікрокосм можна вивчати за допомогою макрокосмосу і навпаки.
Питання в межі радіусу =] h / 2; 2 / h [. Тут h використовується як метричний межа точності вимірювань, тобто та сама епсилон поділена на два.
Також фізичне існування такої сфери можна довести або спростувати для різних випадків.
Чи я не правий?