Як вирішувати завдання з трапецією

Щоб зрозуміти, як вирішувати завдання з трапецією, корисно запам'ятати три основних шляхи вирішення.

I. Провести дві висоти.

Ia. Чотирикутник BCKF - прямокутник (так як у нього все кути прямі). Отже, FK = BC.

AD = AF + FK + KD, звідси AD = AF + BC + KD.

Трикутники ABF і DCK - прямокутні.

(Слід врахувати й інший варіант:

В цьому випадку AD = AF + FD = AF + FK-DK = AF + BC-DK.)

Ic. Якщо трапеція рівнобедрена, рішення задачі спрощується:

В цьому випадку прямокутні трикутники ABF і DCK рівні, наприклад, по катету і гіпотенузі (AB = CD за умовою, BF = CK як висоти трапеції). З рівності трикутників випливає рівність відповідних сторін:

II. Провести пряму, паралельну бічній стороні.

IIa. BM ∥ CD. Так як BC ∥ AD (як підстави трапеції), то BCDM - паралелограм. Отже, MD = BC, BM = CD, AM = AD-BC.

IIb. Зокрема, для рівнобедреної трапеції

BM ∥ CD. Так як CD = AB, то і BM = AB. Тобто отримуємо трикутник ABM і паралелограм BCDM.

III. Продовжити бічні сторони і отримати трикутник.

Прямі AB і CD перетинаються в точці P.

Трикутники APD і BPC подібні за двома кутами (кут P - загальний, ∠ PAD = ∠ PBC як відповідні при BC ∥ AD і січною AP).

Отже, їх боку пропорційні:

Ці три підходи до вирішення завдань на трапецію - основні. Крім них, існує багато інших способів. Деякі розглянуті на цьому сайті. Наприклад, тут - як вирішувати завдання з трапецією, у якій діагоналі перпендикулярні.