Як обчислюють обсяг піраміди

Слово «піраміда» мимоволі асоціюється з величними велетнями в Єгипті, вірно зберігають спокій фараонів. Може бути тому піраміду як геометричну фігуру безпомилково впізнають всі, навіть діти.

Проте, спробуємо дати їй геометричне визначення. Уявімо на площині кілька точок (А1, А2. Ап) і ще одну (Е), що не прінадлежайшую їй. Так ось, якщо точку Е (вершину) з'єднати з вершинами багатокутника, утвореного точками А1, А2. Ап (підстава), вийде багатогранник, який і називають пірамідою. Очевидно, що вершин у багатокутника в основі піраміди може бути скільки завгодно, і в залежності від їх кількості піраміду можна назвати трикутної і чотирикутної, п'ятикутної і т.д.

Якщо уважно придивитися до піраміди, то стане ясно, чому її визначають ще й по-іншому - як геометричну фігуру, що має в основі багатокутник, а в якості бічних граней - трикутники, об'єднані спільною вершиною.

Оскільки піраміда - просторова фігура, то і у неї є така кількісна характеристика, як обсяг. Обсяг піраміди обчислюють за добре відомою формулою обсягу, рівного третини твори підстави піраміди на її висоту:

Обсяг піраміди при виведенні формули спочатку розраховується для трикутної, взявши за основу постійне співвідношення, що зв'язує цю величину з об'ємом трикутної призми, що має той же підставу і висоту, яка, як виявляється, в три рази перевищує цей обсяг.

А оскільки будь-яка піраміда розбивається на трикутні, і її обсяг не залежить від виконуваних при доказі побудов, правомірність наведеної формули обсягу - очевидна.

Окремо серед усіх пірамід стоять правильні, у яких в основі лежить правильний багатокутник. Що ж стосується висоти піраміди. то вона повинна «закінчуватися» в центрі підстави.

У разі неправильного багатокутника в основі для обчислення площі підстави потрібно:

• розбити його на трикутники і квадрати;

• підрахувати площу кожного з них;

• скласти отримані дані.

У разі правильного багатокутника в основі піраміди, його площа розраховують за готовими формулами, тому обсяг правильної піраміди обчислюється зовсім просто.

Наприклад, щоб обчислити об'єм чотирикутної піраміди, якщо вона правильна, зводять довжину сторони правильного чотирикутника (квадрата) в підставі в квадрат і, помноживши на висоту піраміди, ділять отриманий добуток на три.

Обсяг піраміди можна обчислити, використовуючи і інші параметри:

• як третину твору радіусу кулі, вписаного в піраміду, на площу її повної поверхні;

• як дві третини твори відстані між двома довільно взятими перехресними ребрами і площі паралелограма, який утворюють середини останніх чотирьох ребер.

Обсяг піраміди обчислюється просто і в разі, коли його висота збігається з одним з бічних ребер, тобто в разі прямокутної піраміди.

Говорячи про пірамідах, не можна обійти увагою також усічені піраміди, отримані перетином піраміди паралельної підставі площиною. Їх обсяг практично дорівнює різниці обсягів цілої піраміди і відсіченою вершини.

Першим обсяг піраміди, правда не зовсім в його сучасному вигляді, проте рівним 1/3 обсягу відомої нам призми, знайшов Демокріт. Його метод підрахунку Архімед назвав «без докази», оскільки Демокріт підходив до піраміди, як до фігури, складеної з нескінченно тонких, подібних пластинок.

До питання знаходження об'єму піраміди «звернулася» і векторна алгебра, використовуючи для цього координати її вершин. Піраміда, збудована на трійці векторів a, b, c, дорівнює одній шостій від модуля змішаного твори заданих векторів.