Інейная комбінація векторів - студопедія
Лінійною комбінацією векторів називають вектор
де - коефіцієнти лінійної комбінації. Якщо комбінація називається тривіальною, якщо - нетривіальною.
Лінійна залежність і незалежність векторів
Система лінійно залежна що
Система лінійно незалежна
Критерій лінійної залежності векторів
Для того щоб вектори (r> 1) були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб хоча б один з цих векторів був лінійною комбінацією інших.
Розмірність лінійного простору
Лінійне простір V називається n -мірним (має розмірність n), якщо в ньому:
1) існує n лінійно незалежних векторів;
2) будь-яка система n + 1 векторів лінійно залежна.
Позначення. n = dim V; .
Система векторів називається лінійно залежною, якщо існує ненульовий наборчісел таких, що лінійна комбінація
Система векторів називається лінійно незалежної, якщо з рівності нулю лінійної комбінації
слід рівність нулю всіх коефіцієнтів
Питання про лінійну залежність векторів в загальному випадку зводиться до питання про існування ненульового рішення у однорідної системи лінійних рівнянь з коефіцієнтами, рівними відповідним координатам даних векторів.
Для того щоб добре засвоїти поняття «лінійна залежність», «лінійна незалежність» системи векторів, корисно вирішити завдання наступного типу:
11. Лінійна залежність.І і ІІ Критерії лінійної залежності.
Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли один з векторів системи є лінійною комбінацією інших векторів цієї системи.
Доведення. Нехай система векторів лінійно залежна. Тоді існує такий набір коефіцієнтів. що. причому хоча б один коефіцієнт відмінний від нуля. Припустимо, що . тоді
тобто є лінійною комбінацією інших векторів системи.
Нехай один з векторів системи є лінійною комбінацією інших векторів. Припустимо, що це вектор. тобто . Очевидно, що . Отримали, що лінійна комбінація векторів системи дорівнює нулю, причому один з коефіцієнтів відмінний від нуля (дорівнює).
Пропозиція 10.7Еслі система векторів містить лінійно залежну підсистему, то вся система лінійно залежна.
Нехай в системі векторів підсистема. . є лінійно залежною, тобто. і хоча б один коефіцієнт відмінний від нуля. Тоді складемо лінійну комбінацію. Очевидно, що ця лінійна комбінація дорівнює нулю, і що серед коефіцієнтів є ненульовий.
12. База системи векторів, ее Основна властівість.
Базою ненульовий системи векторів називається еквівалентна їй лінійно незалежна підсистема. Нульова система бази не має.
Властивість 1:
База лінійної незалежної системи збігається з нею самою.
приклад:
Система лінійно незалежних векторів оскільки жоден з векторів не може бути лінійно вирожен через інші.
Властивість 2: (Критерій Бази)
Лінійно незалежна підсистема даної системи є її базою тоді і тільки тоді, коли вона максимально лінійно незалежна.
Доведення:
дана система
необхідність
Нехай база.
Тоді за визначенням і, якщо. де. система лінійно залежна, так як лінійно вирожается через. отже максимально лінійно незалежна.
достатність
Нехай максимально лінійно незалежна підсистема, тоді де.
лінійно залежна лінійно вирожается через отже база системи.
Властивість 3: (Основна властивість бази)
Кожен вектор системи вирожается через базу єдиним чином.
Доведення
Нехай вектор вирожается через базу двома способами, тоді:
. тоді
13. Ранг системи векторів.
Визначення: Рангом ненульовий системи векторів лінійного простору називається число векторів її бази. Ранг нульової системи за визначенням дорівнює нулю. Властивості рангу: 1) Ранг лінійно незалежної системи збігається з числом її векторів. 2) Ранг лінійно залежною системи менше числа її векторів. 3) Ранги еквівалентних систем збігаються - rank rank. 4) Ранг під системи менше або дорівнює рангу системи. 5) Якщо і rank rank. тоді і мають загальну базу. 6) Ранг системи не змінити, якщо в неї додати вектор, який є лінійною комбінацією інших векторів системи. 7) Ранг системи не змінити, якщо з неї видалити вектор, який є лінійною комбінацією інших векторів.
Для знаходження рангу системи векторів, потрібно використовувати метод Гаусса і привести систему до трикутної або трапецієподібної формі.
14. Еквівалентні системи векторів.
Перетворимо дані вектора в матрицю для знаходження бази.
отримаємо:
Тепер за допомогою методу Гаусса будемо преобразоивавать матрицю до трапецеидальному увазі:
1) У нашій основний матриці, будемо анулювати весь перший стовпець крім першого рядка від другої віднімаючи першу помножену на. від третьої віднімаючи першу помножену на. а від четвётой ми нічого не будемо віднімати так як перший елемент четвертої рядки, тобто перетин першого шпальти і четвертої рядки, дорівнює нулю. Отримаємо матрицю:
2) Тепер в матриці. поміняємо місцями рядки 2, 3 і 4 для простоти рішення, що б на місці елемента була одиниця. Четверту рядок поміняємо поставимо замість другої, другу замість третьої і третю на місце четвертої. Отримаємо матрицю:
3) В матриці ануліруем всі елементи під елементом.
Оскільки знову елемент нашої матреці дорівнює нулю, ми нічого не забираємо від четвертої рядки, а до третьої додамо другу помножену на. Отримаємо матрицю:
4) Знову поміняємо в матриці рядка 3 і 4 місцями. Отримаємо матрицю:
5) В матриці додамо до червётрой рядку третю, помножену на 5. Отримаємо матрицю. яка матиме трикутний вигляд:
Системи. їх ранги збігаються в силу властивостей рангу і їх ранг дорівнює rank rank
зауваження:
1) На відміну від традиційного методу Гаусса, якщо в рядку матриці всі елементи діляться на певне число, ми не маємо право скорочувати її рядок в силу дії властивостей матриці. Якщо ми захочемо скоротити рядок на певне число, доведеться скорочувати всю матрицю на це число.
2) В разі, якщо ми отримаємо лінійно залежну рядок, ми можемо її прибрати з нашого матриці і замінити на нульову рядок.
приклад:
Відразу видно що другий рядок виражається через першу, якщо помножити першу на 2.
У Тіаком випадку можемо замінити всю другий рядок на нульову. отримаємо:
У підсумку, привівши матрицю, або до трикутного, або до трапецеидальному увазі, де у неї немає лінійно залежних векторів, все не нульові вектори матриці і будуть базою матриці, а їх кількість рангом.
Ось так само приклад системи векторів у вигляді графіка:
Дана система де. . і. Базою даної системи очевидно буду вектора і. оскільки через них виражаються вектори.
Дана система в графічному вигляді буде мати вигляд:
15. Елементарні превращение. Системи ступінчатого виду.
Елементарні перетворення матриці - це такі перетворення матриці, в результаті яких зберігається еквівалентність матриць. Таким чином, елементарні перетворення не змінюють безліч рішень системи лінійних алгебраїчних рівнянь, яку представляє ця матриця.
Елементарні перетворення використовуються в методі Гаусса для приведення матриці до трикутного або ступенчатому увазі.
Елементарними перетвореннями рядків називають:
· Перестановку місцями будь-яких двох рядків матриці;
· Множення будь-якого рядка матриці на константу. . при цьому визначник матриці збільшується в k раз;
· Додаток до будь-якому рядку матриці іншого рядка.
У деяких курсах лінійної алгебри перестановка рядків матриці не виділяється в окреме елементарне перетворення в силу того, що перестановку місцями будь-яких двох рядків матриці можна отримати, використовуючи множення будь-якого рядка матриці на константу. і додаток до будь-якому рядку матриці іншого рядка, помноженої на константу. .
Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців.
Елементарні перетворення оборотні.
Позначення вказує на те, що матриця може бути отримана з шляхом елементарних перетворень (або навпаки).