гіпотеза Пуанкаре
гіпотеза
Берча - Свіннертона-Дайера
Узагальнена гіпотеза Пуанкаре - твердження про те, що будь-яке n -мірним різноманіття гомотопічно еквівалентно n -мірною сфері тоді і тільки тоді, коли воно гомеоморфним їй. Основна гіпотеза Пуанкаре є окремим випадком узагальненої гіпотези при n = 3. До кінця XX століття цей випадок залишався єдиним недоведеним. Таким чином доказ Перельмана завершує і доказ узагальненої гіпотези Пуанкаре.
Потік Річчі - це певний рівняння в приватних похідних. схоже на рівняння теплопровідності. Він дозволяє деформувати ріманову метрику на різноманітті, але в процесі деформації можливе утворення «сингулярностей» - точок, в яких кривизна прямує до нескінченності, і деформацію неможливо продовжити. Основний крок в доказі полягає в класифікації таких сингулярностей в тривимірному орієнтованому випадку. При підході до сингулярності потік зупиняють і роблять «хірургію» - викидають малу зв'язну компоненту або вирізують «шию» (тобто відкриту область, діффеоморфную прямому твору (0. 1) × S 2>), а отримані дві дірки заклеюють двома кулями так, що метрика отриманого різноманіття стає досить гладкою - після чого продовжують деформацію вздовж потоку Річчі.
Процес, описаний вище, називається «потік Річчі з хірургією». Класифікація сингулярностей дозволяє зробити висновок, що кожен «викинутий кусок» діффеоморфен сферичної просторової формі.
При доказі гіпотези Пуанкаре починають з довільною римановой метрики на однозв'язного тривимірному різноманітті M і застосовують до нього потік Річчі з хірургією. Важливим кроком є доказ того, що в результаті такого процесу «викидається» все. Це означає, що вихідне різноманіття M можна представити як набір сферичних просторових форм S 3 / Γ i / \ Gamma _>. з'єднаних один з одним трубками [0. 1] × S 2>. Підрахунок фундаментальної групи показує, що M діффеоморфно зв'язковий сумі набору просторових форм S 3 / Γ i / \ Gamma _> і більш того все Γ i> тривіальні. Таким чином, M є зв'язковою сумою набору сфер, тобто сферою.
У 1900 році Пуанкаре зробив припущення, що тривимірне різноманіття з усіма групами гомологий як у сфери гомеоморфним сфері. У 1904 році він же знайшов контрприклад, званий тепер сферою Пуанкаре. і сформулював остаточний варіант своєї гіпотези. Спроби довести гіпотезу Пуанкаре привели до численних просування в топології многовидів.
Гіпотеза Пуанкаре довгий час не привертала уваги дослідників. У 1930-х роках Джон Уайтхед відродив інтерес до гіпотези, оголосивши про доведення, але потім відмовився від нього. В процесі пошуку він виявив деякі цікаві приклади однозв''язних некомпактної 3-різноманіть, негомеоморфних R 3 ^>. прообраз яких відомий як різноманіття Уайтхеда.
Докази узагальненої гіпотези Пуанкаре для n ⩾ 5 отримані на початку 1960-1970-х майже одночасно Смейл. незалежно і іншими методами Столлінгс (англ.) (для n ⩾ 5. його доказ було поширене на випадки n = 5. 6 Зееманом (англ.)). Доказ значно важчого випадку n = 4 було отримано тільки в 1982 році Фрідманом. З теореми Новікова про топологічної інваріантності характеристичних класів Понтрягина випливає, що існують гомотопічно еквівалентні, але не гомеоморфні різноманіття в високих размерностях.