Гіпербола - студопедія

Гіперболою називається лінія, що складається з усіх точок площини, модуль різниці відстаней від яких до двох даних точок і є величина постійна (не дорівнює нулю і менша, ніж відстань між і).

Точки і називаються фокусами гіперболи. Нехай як і раніше відстань між фокусами дорівнює. Модуль відстаней від точок гіперболи до фокусів і позначимо через. За умовою, .

Вибравши декартову систему координат, як у випадку еліпса, і використовуючи визначення гіперболи, складаємо її рівняння:

де # 8209; координати довільної точки гіперболи,.

Рівняння (7.6) називається канонічним рівнянням гіперболи.

З рівняння (7.6) видно, що. Це означає, що вся гіпербола розташовується поза смуги, обмеженої прямими і.

Так як в рівняння входять тільки парні ступеня і. то гіпербола симетрична щодо кожної з координатних осей і початку координат. Тому досить побудувати цю криву в першій чверті: в інших чвертях гіпербола будується по симетрії. З рівняння (7.6) для першої чверті, маємо:.

Графік цієї функції від точки йде необмежено вправо і вгору (Рис. 7.7), і як завгодно близько підходить до прямої:

Тому кажуть, що гіпербола асимптоматического наближається до прямої (7.7), і цю пряму називають асимптотой гіперболи. З симетрії гіперболи слід, що у неї дві асимптоти.

Побудуємо гіперболу. Спочатку будуємо, так званий, основний прямокутник гіперболи, центр якої збігається з початком координат, а сторони рівні і паралельні осях координат. Прямі, на яких розташовані діагоналі цього прямокутника, є асимптотами гіперболи. Зробимо малюнок гіперболи (Рис. 7.8).

Гіпербола складається з двох окремих гілок. Центр симетрії гіперболи називається її центром, осі симетрії називаються осями гіперболи. Точки і перетину гіперболи з віссю називаються вершинами гіперболи. Величини і називаються півосями гіперболи. Якщо. то гіпербола називається равносторонней.

Ексцентриситетом гіперболи називається число. Для будь-якої гіперболи. Ексцентриситет характеризує форму гіперболи: чим менше, тим більше витягується гіпербола уздовж осі. На малюнку 7.9 зображені гіперболи з різними значеннями.

Фокальними радіусами точки гіперболи називаються відрізки прямих, що з'єднують цю точку з фокусами і. Їх довжини і задаються формулами:

Для правої - гілки,

Для лівої - гілки.

Прямі називаються директрисами гіперболи. Як і в випадку еліпса, точки гіперболи характеризуються співвідношенням.