геометричні моделі

Це моделі, які з певною точністю описують геометричні властивості об'єкта, що проектується. Геометричні властивості - це просторове відношення і форми (фігури). В геометрії поняття простір і фігури визначається виходячи з поняття множини. Простір визначається як безліч будь-яких елементів (точок), а фігура визначається як довільне безліч точок в даному просторі.

В САПР використовується математичне уявлення геометричної моделі. Наука, яка займається цим - інженерна (прикладна) геометрія. При геометричному моделюванні об'єкт проектування постає як геометричний об'єкт (ГО). Для будь-якого геометричного об'єкта можна визначити сукупність незалежних умов, однозначно задають цей об'єкт, тобто дозволяють для будь-якої точки простору встановити, належить ця точка об'єкту чи ні. Таку сукупність незалежних умов називають визначником геометричного об'єкта. У число умов входять геометричні фігури (точки, лінії, поверхні,) і певна послідовність дій, за допомогою яких з цих геометричних фігур можна побудувати даний геометричний об'єкт. Ця послідовність дій називається алгоритмом відтворення даного геометричного об'єкта.

Кількісно геометричний об'єкт характеризується параметрами. При виділенні параметрів важливо враховувати області їх існування, наприклад, для трикутника числа, що виражають довжини сторін, завжди більше нуля і сума двох чисел більше третього числа.

Для опису геометричної фігури необхідно виділити параметри двох типів - форми і положення. Параметри форми характеризують розміри і форму геометричної фігури, вони не змінюються при зміні положення фігури в просторі; параметри положення характеризують положення геометричної фігури в просторі. Параметризація форми проводиться в системі координат, яка пов'язана з самою фігурою і переміщається разом з нею. Параметризація положення фігури проводиться в системі координат незалежно від фігури.

При описі геометричного об'єкта розрізняють підмножини граничних точок - поверхня геометричного об'єкта; і підмножина внутрішніх точок - тіло геометричного об'єкта.

Геометричні об'єкти бувають складної форми і складної структури. Геометричні об'єкти складної форми - це ті, у яких поверхня складного характеру (наприклад, корпус судна, автомобіля). Геометричні об'єкти складної структури - складаються з декількох ГО.

В автоматизованому проектуванні відомі два основні підходи до геометричного модулювання:

Перший підхід полягає в тому, що виділяється деякий набір геометричних фігур, які в даному класі задач вважаються елементарними (базовими). Поряд з геометричним набором вводиться набір дій - геометричних операцій над цим набором. Геометричний об'єкт в цьому випадку називається складовим (конструктивним).

Другий підхід безпосереднє опис і відтворення геометричних властивостей об'єкта без використання допоміжних, заздалегідь заготовлених фіксованих фігур. В цьому випадку безпосередньо описується закон освіти геометричного об'єкта як безліч точок, що володіють відповідними властивостями.

Підхід, заснований на «прямому» моделюванні геометричного об'єкта, в залежності від способу формування можна розділити на кусочно-аналітичні і алгебро-логічні моделі об'єкта.

У кусочно-аналітичних моделях поверхню об'єкта представляється окремими шматками гладких поверхонь, званими гранями. Кожна грань задається своїм рівнянням поверхні і кордонами межі. Ребра геометричного об'єкта або кордону межі є лінії перетину поверхонь, що обмежують геометричний об'єкт. Точки перетину ребер називаються вершинами.

Існує три види моделей: стрижнева, оболочной і об'ємна.

Стрижнева модель геометричного об'єкта дозволяє досить просто дати форму зображення проектованого об'єкта шляхом побудови проволочно-каркасної моделі геометричного об'єкта. У такій моделі описуються тільки ребра і вершини геометричного об'єкта, грані не описуються (мал.1а) .Ребра представлені у вигляді стрижнів, з'єднаних у вузлах (вершинах 1,2,3.). Основними рівняннями для опису такої моделі є рівняння прямої лінії в тривимірному просторі. Така модель є подмоделей, але вона дозволяє оперативно здійснювати виведення зображення геометричного об'єкта, а також виконувати такі операції, як побудова аксонометричних і перспективних проекцій.

Математичний опис моделей такого роду порівняно просте, що обумовлює високу швидкодію програмного забезпечення. До недоліків таких моделей слід віднести складність або неможливість подання внутрішнього вигляду об'єкта, побудови довільних його розрізів і перетинів.

Геометричні моделі об'єкта

а - стрижнева; б - оболочечная

Оболочечная модель об'єкта (рис.1б). заснована на уявленні зовнішнього вигляду об'єкта у вигляді сукупності поверхонь, які є гранями моделі (А, Б, В.). Лінії перетину поверхонь утворюють ребра моделі.

Така модель описується системою рівнянь поверхонь і може бути використана для моделювання зовнішнього вигляду об'єктів будь-якої форми. Основний її недолік неможливість подання внутрішнього вигляду об'єкта, побудова його розрізів і перетинів.

Найбільш сучасною моделлю, що знайшло широке застосування в САПР, є об'ємна (твердотілих модель). Загальноприйнятим порядком моделювання твердого тіла є послідовність виконання булевих операцій (об'єднання, віднімання і перетин) над об'ємними елементами (сфери, призми, циліндри, конуси, піраміди і т.д.). Ці елементи описуються тими ж рівняннями, що і поверхні оболочечной моделі, однак об'ємні елементи вважаються заповненими. Приклад виконання операцій з об'ємними елементами показаний на рис.2.

Рис.2. Операції з об'ємними елементами