Геодезична лінія - математична енциклопедія - енциклопедії & словники

геодезич-ська, - геометричне поняття, що узагальнює поняття прямої (або відрізка прямої) евклідової геометрії на випадок просторів більш загального вигляду. Визначення Г. л. в різних просторах залежать від того, яка з структур (метрика, лінійний елемент, лінійна зв'язність) лежить в основі геометрії розглянутого простору. В геометрії тих просторів, де метрика вважається заданою апріорі, Г. л. визначають як локально найкоротші. У просторах зі зв'язністю Г. л. визначають як криві, у яких брало дотичний вектор залишається дотичним при паралельному перенесенні вздовж кривої. У ріманової і фінслерова геометрія, де спочатку задається лінійний елемент (інакше кажучи, - метрика в дотичному просторі в кожній точці розглянутого різноманіття), а довжини кривих виходять подальшою інтеграцією, Г. л. визначають як екстремали функціоналу довжини кривої.

Вперше Г. л. вивчалися І. Бернуллі (J. Bernoulli) і Л. Ейлером (L. Euler) при знаходженні найкоротших на регулярних поверхнях в евклідовому просторі. На таких лініях обертається в нуль геодезична кривизна; головна нормаль цих кривих паралельна нормалі до поверхні. При згинаннях Г. л. зберігаються. Рух консервативної механічні. системи з кінцевим числом ступенів свободи описується Г. л. в відповідно підібраному римановом просторі.

У риманових просторах Г. л. вивчені найбільш повно.

Нехай M n є n-мірний ріманово простір з метрич. тензором класу. Визначення Г. л. як екстремали дозволяє написати її диференціальні рівняння в довільних локальних координатах, за будь-якої параметризації:

Інша еквівалентна форма рівнянь Г. л. виводиться з вимоги паралельності перенесення вздовж дотичного вектора Якщо t є довжина s дуги уздовж Г. л. або лінійна функція від s, то

Визначення Г. л. рівнянням (1) включає і канонич. вибір параметра. При такому визначенні через кожну точку проходить Г. л. з початковим дотичним вектором Відображення дотичного простору в точці в досліджуване простір є експоненціальне відображення з полюсом. Поблизу початкової точки х 0 - дифеоморфізмів, що вводить в досліджуваному просторі ріманови координати.

Ряд властивостей Г. л. зберігається у кривих, визначених рівняннями 2-го порядку якщо, подібно до (1), функція F - однорідна 2-го ступеня за Визначення таких рівнянь в термінах дотичних розшарувань призводить до понять пульверизації і їх інтегральних кривих. Окремим випадком останніх є Г. л. (Див. [2]).

Поведінка Г. л. в малому схоже на поведінку прямих в евклідовому просторі. Досить мала дуга Г. л. є найкоротшою серед усіх спрямлюваних кривих з тими ж кінцями. Через будь-яку точку в будь-якому напрямку проходить єдина Г. л. У кожної точки є околиця U, в якій будь-які дві точки поєднувані єдиною Г. д. Що не виходить з U (див. [3]).

Питання про те, як далеко можна продовжити з точки х 0 дугу Г. л. щоб вона залишалася найкоротшою в порівнянні з близькими до неї кривими, становить одну з задач варіаційного числення. Порівняння Г. л. з близькими кривими засноване на вивченні другої варіації довжини, к-раю досліджується шляхом розгляду поля швидкостей (Якоба поле) .в точках Г. л. при варіюванні. При будь-якому фіксованому tкрівая залишається геодезичної, а параметр s на ній - канонічним. Якщо на початку кривої швидкість дорівнює нулю, то ті точки кривої, де ця швидкість при будь-якому ненулевом поле Якобі виявляється нулем, наз. сполученими точками. Г. л. залишається найкоротшою в порівнянні з близькими кривими до першої сполученої точки. Для дуги Г. л. продовженої за пов'язану точку, існує як завгодно близька коротша крива з тими ж кінцями. Поле Якобі задовольняє рівняння

де - дотичний вектор геодезичної. а - кривизни перетворення, або, в координатах Фермі

Див. Також `Геодезична Лінія` в інших словниках