функціональні ряди

Визначення. Приватними (частковими) сумами функціонального ряду називаються функції

Визначення. Функціональний ряд називається збіжним в точці (х = х0), якщо в цій точці сходиться послідовність його приватних сум. Межа послідовності називається сумою ряду в точці х0.

Визначення. Сукупність усіх значень х. для яких сходиться ряд називається областю збіжності ряду.

Визначення. Ряд називається рівномірно збіжним на відрізку [a, b], якщо рівномірно сходиться на цьому відрізку послідовність приватних сум цього ряду.

Теорема. (Критерій Коші рівномірної збіжності ряду) Для рівномірної збіжності ряду необхідно і достатньо, щоб для будь-якого числа e> 0 існував такий номер N (e), що при n> N і будь-якому цілому p> 0 нерівність виконувалося б для всіх х на відрізку [ a, b].

Теорема. (Ознака рівномірної збіжності Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вільгельм Вейерштрасс (1815 - 1897) - німецький математик)

Ряд сходиться рівномірно і притому абсолютно на відрізку [a, b], якщо модулі його членів на тому ж відрізку не перевищують відповідних членів сходиться числового ряду з позитивними членами.

тобто має місце нерівність:.

Ще кажуть, що в цьому випадку функціональний ряд мажоріруется числовим рядом.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд.

Так як завжди, то очевидно, що.

При цьому відомо, що общегармоніческій ряд при a = 3> 1 сходиться, то відповідно до ознаки Вейерштрасса досліджуваний ряд рівномірно сходиться до того ж в будь-якому інтервалі.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд.

На відрізку [-1,1] виконується нерівність тобто за ознакою Вейєрштрасса на цьому відрізку досліджуваний ряд сходиться, а на інтервалах (-μ, -1) È (1, μ) розходиться.

Властивості рівномірно збіжних рядів.

1) Теорема про неперервність суми ряду.

Якщо члени ряду - безперервні на відрізку [a, b] функції і ряд сходиться рівномірно, то і його сума S (x) є безперервна функція на відрізку [a, b].

2) Теорема про почленного інтеграції ряду.

Рівномірно сходиться на відрізку [a, b] ряд з безперервними членами можна почленно інтегрувати на цьому відрізку, тобто ряд, складений з дитинства інтегралів від його членів по відрізку [a, b]. сходиться до інтеграла від суми ряду по цьому відрізку.

3) Теорема про почленного диференціюванні ряду.

Якщо члени ряду, що сходиться на відрізку [a, b] є безперервні функції, що мають безперервні похідні, і ряд, складений з цих похідних сходиться на цьому відрізку рівномірно, то і даний ряд сходиться рівномірно і його можна диференціювати почленно.

На основі того, що сума ряду є деякою функцією від змінної х. можна робити операцію уявлення будь - якої функції у вигляді ряду (розкладання функції в ряд), що має широке застосування при інтегруванні, диференціюванні та інших діях з функціями.