Функція і її властивості
32 33 34 1 2 35 36 37 38 39 40 41 4 42 43 44 45 46 47 5 48 49 6 50 51 52 53 54 55 56 57 58 9 59 10 60 7 61 62 63 64 65 66 67 68 69 8 70 71 72 11 73 74 75 76 77 78 14 79 80 81 31 17 15 82 16 20 83 84 85 19 86 87 88 30 89 18 90 21 91 92 93 94 95 96 97 98 99 22 100 101 102 103 104 105 23 24 106 107 108 26 109 13 110 111 29 28 112 113 114 115
Увага Знижка 50% на курси! поспішайте подати
заявку
Професійної перепідготовки 30 курсів від 6900 руб.
Курси для всіх від 3000 руб. від 1500 руб.
Підвищення кваліфікації 36 курсів від 1500 руб.
Функція і її властивості
Функція-залежність змінної у від змінної x, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.
Мінлива х- незалежна змінна або аргумент.
Мінлива у- залежна змінна
Значення функції-значення у. відповідне заданому значенням х.
Область визначення функції-все значення, які приймає незалежна змінна.
Область значень функції (безліч значень) - все значення, які приймає функція.
Функція є четной- якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f (x) = f (-x)
Функція є нечетной- якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f (-x) = - f (x)
Способи завдання функції
Щоб задати функцію, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення функції. Найбільш вживаним є спосіб завдання функції за допомогою формули у = f (x). де f (x) - íåêîòîðîå â и ðàæåíèå зі змінною х. У такому випадку говорять, що функція задана формулою або що функція задана аналітично.
На практиці часто використовується табличний спосіб завдання функції. При цьому способі наводиться таблиця, яка вказує значення функції для наявних в таблиці значень аргументу. Прикладами табличного завдання функції є таблиця квадратів, таблиця кубів.
Види функцій і їх властивості
Постійна функція-функція, задана формулою у = b, де b- деяке число. Графіком постійної функції у = b є пряма, паралельна осі абсцис і проходить через точку (0; b) на осі ординат
Пряма пропорціональность- функція, задана формулою у = kx, де к0. Число k називається коефіцієнтом пропорційності.
C войства функції y = kx.
Область визначення функції-безліч всіх дійсних чисел
y = kx - непарна функція
При k> 0 функція зростає, а при k 0 функція зростає, а при k 0. то функція спадає на проміжку (0; + ) і на проміжку (-; 0). Якщо k 2
Область определенія- вся числова пряма
На проміжку [0; + ) функція зростає
На проміжку (- ; 0] функція спадає
Графіком функції є парабола.
Область определенія- вся числова пряма
Функція зростає на всій числовій прямій
Графіком функції є кубічна парабола
7) Степенева функція з натуральним показателем- функція, задана формулою y = xn. де n - натуральне число. При n = 1 отримуємо функцію y = x. її властивості розглянуті в п.2. При n = 2; 3 отримуємо функції y = x 2; y = x 3. Їх властивості розглянуті вище.
Нехай n- довільне парне число, більше двох: 4,6,8. У цьому випадку функція y = xn має ті ж властивості, що і функція y = x 2. Графік функції нагадує параболу y = x 2. тільки гілки графіка при | х |> 1 тим крутіше йдуть вгору, чим більше n. а при | х | n має ті ж властивості, що і функція y = x 3. Графік функції нагадує кубічну параболу.
8) Степенева функція з цілим негативним показателем- функція, задана формулою y = x-n, де n - натуральне число. При n = 1 отримуємо y = 1 / х, властивості цієї функції розглянуті в п.4.
Нехай n- непарне число, більше одиниці: 3,5,7. У цьому випадку функція y = x-n володіє в основному тими ж властивостями, що і функція y = 1 / х.
Нехай n- парне число, наприклад n = 2.
Властивості функції y = x-2.
Функція визначена при всіх x0
Функція убуває на (0; + ) і зростає на (-; 0).
Тими ж властивостями володіють будь-які функції при парному n, більшому двох.
Область визначення - промінь [0; + ).
Функція y = х - загального вигляду
Функція зростає на промені [0; + ).
Область определенія- вся числова пряма
Функція зростає на всій числовій прямій.
При парному n функція має ті ж властивості, що і функція y = х. При непарному n функція y = nх має ті ж властивості, що і функція y = 3х.
12) Степенева функція з позитивним дробовим показателем- функція, задана формулою y = xr. де r - позитивна нескоротний дріб.
Область определенія- промінь [0; + ).
Функція загального вигляду
Функція зростає на [0; + ).
На малюнку зображено графік функції y = x 5/2. Він укладений між графіками функцій y = x 2 і y = x 3. заданих на проміжку [0; + ). Подібний вид має будь-який графік функції виду y = xr. де r> 1.
На малюнку зображено графік функції y = x 2/3. Подібний вид має графік будь-якої статечної функції y = xr. де 0 -r. де r - позитивна нескоротний дріб.
Обл. визначення -промежуток (0; + )
Функція загального вигляду
Функція убуває на (0; + )
14) Зворотна функція
Якщо функція y = f (x) така, що для будь-якого її значення yo рівняння f (x) = yo має відносно х єдиний корінь, то кажуть, що функція fобратіма.
Якщо функція y = f (x) визначена і зростає (спадає) на проміжку Х і областю її значень є проміжок Y. то у неї існує зворотна функція, причому зворотна функція визначена і зростає (спадає) на Y.
Таким чином, щоб побудувати графік функції, оберненої до функції y = f (x). треба графік функції y = f (x) піддати перетворенню симетрії відносно прямої y = x.
15) Складна функція-функція, аргументом якої є інша будь-яка функція.
Візьмемо, наприклад, функцію y = x + 4. Підставами в аргумент функцію y = x + 2. Виходить: y (x + 2) = x + 2 + 4 = x + 6. Це і буде складною функцією.