Фрактальні зображення - це неймовірно, красиво і фантастично!

Сьогодні людина живе в світі, де інформація має величезне значення. Життєво важливо навчиться правильно з нею працювати і використовувати різні інструменти для цієї роботи. Одним з таких інструментів є комп'ютер, який став універсальним помічником людині в різних сферах діяльності. Сучасні математичні моделі настільки красиві і загадкові, що запросто можуть звести з розуму вразливого студента і вченого. Різнобарвні зображення фракталів вражають своєю сучасною гармонією. Тому ви сміливо можете повісити картину фрактала будинку на стіну і розіграти своїх домочадців сказати, що ця робота відомого художника, і ви купили її за шалені гроші на супермодної виставці сучасного авангардизму.

Так що ж таке фрактал?

Фрактали - це геометричні об'єкти з надзвичайними властивостями: будь-яка частина фрактала містить його зменшене зображення. Тобто, скільки фрактал не збільшується, з будь-якої його частини на вас буде дивитися його зменшена копія.

Перші ідеї фрактальної геометрії виникли в 19 столітті. А що ж таке фрактальная графіка? Серед всіх картинок, які може створювати комп'ютер, лише деякі можуть посперечатися з фрактальними зображеннями, коли йдеться про справжню красу. У більшості з нас слово "фрактал" викликає в пам'яті кольорові завитки, що формують складний, тонкий і складовою візерунок. Але насправді цей термін має набагато ширший сенс. Фрактал - об'єкт, що володіє нескінченною складністю, що дозволяє розглянути стільки ж своїх предметів поблизу, як і здалеку.

Земля - ​​класичний приклад фрактального об'єкта. З космосу вона виглядає як кулю. Якщо наближатися до неї, ми виявимо океани, континенти, узбережжя і ланцюги гір. Будемо розглядати гори ближче - стануть видні ще більш дрібні деталі: шматочок землі на поверхні гори в своєму масштабі настільки ж складний і нерівний, як сама гора. І навіть ще більш сильне збільшення покаже крихітні частинки грунту, кожна з яких сама є фрактальним об'єктом. Комп'ютери дають можливість будувати моделі таких нескінченно деталізованих структур.

Є багато методів створення фрактальних зображень на комп'ютері. Два професори математики з Технологічного інституту штату Джорджія розробили широко використовуваний метод, відомий як Системи Ітеріруемих Функцій (ДІФ). За допомогою цього методу створюються реалістичні зображення природних об'єктів, таких, наприклад, як листя папороті, дерева, при цьому неодноразово застосовуються перетворення, які рухають, змінюють в розмірі і обертають частини зображення. У СІФ використовується самоподоба, яке є у творінь природи, і об'єкт моделюється як композиція безлічі дрібних копій самого себе.

Фрактальні зображення з кольоровими завитками відносяться зазвичай до розряду так званих фракталів з тимчасовим порогом, які зображуються точками на комплексній площині з квітами, що відображають час, необхідний для того, щоб орбіта цієї точки перейшла ( "перебігла") певну межу. Комплексна площину - як координатна площину з осями x та y. По парі координат точка будується на комплексній площині так само, як і точка на площині Oxy, але числа мають інший, незвичайний сенс: вони мають уявної компонентою, званої i, яка дорівнює квадратному кореню з -1. (Ось чому i - уявна одиниця - насправді корінь з -1 не існує.) Це спотворює звичайні правила математики, так що такі загальноприйняті операції як множення двох чисел, дають незвичайні результати.

Найбільш відомий фрактал, безліч Мандельброта - фрактал з тимчасовим порогом. Для кожної точки на екрані комп'ютер вважає координати серії точок, що визначають уявний шлях, званий орбітою. Точки, чиї орбіти ніколи не виходять за межі уявного циліндра, розташованого на початку координат комплексної площині, вважаються елементами безлічі Мандельброта і зазвичай закрашуються чорним. Точки, чиї орбіти виходять за межі циліндра, розфарбовуються відповідно до швидкістю "тікання": пікселя, чия орбіта залишає циліндр, наприклад, на шостий ітерації, можна розфарбувати блакитним, a той - орбіті якого потрібно для цього сім ітерацій - червоним. В результаті на зображенні отримаємо безліч Мандельброта і його оточення з "нестабільними" областями фрактала - областями, для яких малі зміни формули ведуть до великої різниці в орбітальному поведінці. Це характеризується густотою зафарбовування малюнка. Змінюючи формулу для підрахунку орбіт, отримаємо інші, такі ж екзотичні фрактали з тимчасовим порогом.

Нескінченно деталізована структура безлічі Мандельброта стає "ясною", коли ви збільшуєте довільну область. Неважливо, наскільки маленький ділянку ви розглядаєте: малюнок, який ви побачите, буде однаково складним. Чому? Тому що в двовимірної площині, на якій будується безліч Мандельброта, будь-яка область містить нескінченне число точок. Коли ви вибираєте область для відображення, комп'ютер точкам з області ставить у відповідність точки на екрані. І кожна точка, обрана як завгодно близько до іншої, має свою характеристическую орбіту, яка породжує відповідний колірний узор.

Фрактали - не тільки предмет математичного цікавості, вони мають корисні додатки. Фрактальні пейзажі, наприклад, використовувалися як декорації в науково-фантастичних фільмах, наприклад в "Зоряний шлях". СІФ-фрактали використовуються для стиснення зображень, і фрактальний метод часто дає кращі результати при багаторазовому стисканні ніж JPEG та інші методи стиснення, з малими втратами якості зображення. Фрактали з тимчасовим порогом використовуються для моделювання поведінки хаотичних динамічних систем (систем, в яких невеликі зміни вхідних даних тягнуть за собою великі зміни в виході) таких, як поведінка погоди.

Дозвольте вас трохи познайомити з фрактальним малюнком:

Погодьтеся виглядає ефектно!

Але ще більш неймовірно виглядають зроблені в 3D фрактальні пейзажі: