Формули пониження степеня, доказ, приклади

Одним з видів тригонометричних формул є формули пониження степеня. Формули пониження степеня висловлюють ступеня синуса і косинуса через синус і косинус першого ступеня, але кратного кута. Таким чином, ці формули знижують ступінь вихідних тригонометричних функцій з n-ой до першої, але при цьому підвищують кратність кута від до. У цій статті ми виведемо формули пониження степеня для ступенів з другої по четверту, дамо загальний вигляд формул зниження для n-го ступеня, а також розглянемо приклади їх застосування.

Навігація по сторінці.

Формули пониження степеня, їх доказ

Запишемо формули пониження степеня з другої по четверту для синуса і косинуса, нижче наведемо їх висновок. А після цього дамо загальний вигляд формул зниження ступеня.

Тепер перейдемо до висновку цих формул зниження ступеня.

Формули пониження для квадрата синуса і косинуса безпосередньо випливають з формул подвійного кута виду і. Записані рівності досить лише дозволити щодо синуса в квадраті і косинуса в квадраті, що дасть формули і відповідно.

Тут варто зазначити, що формули пониження степеня для синуса і косинуса в квадраті збігаються з формулами синуса і косинуса половинного кута.

Якщо формули потрійного кута виду і дозволити щодо синуса в кубі і косинуса в кубі, то вийдуть формули пониження степеня і відповідно.

Довести формули зниження з четвертого ступеня виду і можна, двічі звернувшись до формул зниження синуса і косинуса в квадраті:

Прийшов час записати загальний вигляд формул зниження ступеня. Для парних показників ступеня (тобто, для n = 2, 4, 6, ...) вони мають вигляд і,
а для непарних (тобто, для n = 3, 5, 7, ...) - вид і, де - число сполучень з p елементів по q.

Покажемо, як використовувати формули пониження степеня загального вигляду на конкретному прикладі. Запишемо з їх допомогою формулу зниження ступеня для синуса в кубі. Так як показник ступеня 3 є непарним числом, то потрібно скористатися формулою, прийнявши n = 3. Для n = 3 маємо

Приклади застосування формул зниження ступеня

Розберемо рішення кількох простих прикладів, в яких використовуються формули пониження степеня. Це ми зробимо для того, щоб стало зрозуміло, як застосовуються ці формули.