Фазова і групова швидкість

Процес поширення коливань в середовищі називається хвильовим процесом (або хвилею).

Все розмаїття хвиль в природі і техніці поділяють на два типи: хвилі механічні (пружні) та електромагнітні.

Механічними (іліупругімі) хвилями називаються механічні обурення, що поширюються в пружному середовищі.

Розрізняють хвилі поздовжні і поперечні. У поздовжніх хвилях частинки середовища коливаються в напрямку поширення хвилі, в поперечних - у площині, перпендикулярній напряму розповсюдження. У рідкої і газоподібної середовищі виникають тільки поздовжні хвилі. Поперечні хвилі можуть виникати тільки в твердих тілах.

Хвилі поширюються в середовищі з певною швидкістю. Наприклад.

Швидкість поширення поздовжніх хвиль в тонкому стрижні. де Е - модуль Юнга, r - щільність середовища.

Швидкість поширення поперечних хвиль в ізотропному твердому тілі. де - модуль зсуву.

Швидкість поширення поздовжніх (звукових) хвиль в рідині і в газі. де К - модуль об'ємної пружності середовища, r - щільність середовища. Наприклад, в повітрі:. де Т - термодинамічна температура, виміряна за шкалою Кельвіна, t- температура, виміряна за шкалою Цельсія.

При поширенні коливань в середовищі частки не перемішається разом з хвилею, а лише коливаються біля своїх положень рівноваги. Поступально переміщаються лише фаза і енергія коливань.

Графічно хвилю зображують так само, як і коливання (ріс.26.1).

Геометричне місце точок, хто вагається в однакових фазах, називається хвильової поверхнею. Залежно від форми хвильової поверхні розрізняють сферичні, плоскі, циліндричні хвилі. Геометричне місце точок, до яких доходять коливання з однаковою фазою до деякого моменту часу t. називається фронтом хвилі. Фронт хвилі є окремим випадком хвильової поверхні.

Нехай плоска хвиля поширюється уздовж осі х (ріс.26.1). Ця хвиля характеризується: довжиною хвилі, періодом, амплітудою, частотою, фазовою швидкістю.

Відстань, на яке певна фаза поширюється за один період коливання, називається довжиною хвилі l.

З малюнка видно, що l - це найменша відстань між точками, що коливаються в однакових фазах. Швидкість поширення хвилі (фазова швидкість) - дорівнює швидкості переміщення в просторі точок поверхні, що відповідає будь-якому фіксованому значенню фази.

Хвиля, що поширюється в просторі від будь-якого джерела називається хвилею, що біжить.

Рівнянням хвилі називається вираз, яке дає залежність зміщення s хитається точки як функція її координат (х) і часу t:.

Припустимо, що в точці А пружного середовища знаходиться джерело, який коливається по закону:

Візьмемо на осі 0Х довільну точку В, що лежить на відстані х від початку координат (ріс.26.2.). Коливання дійдуть до точки В через проміжок часу: t = х / v. Тобто точка В почне коливатися на час t пізніше точки 0. Якщо вважати, що коливання не загасають, то можна визначити зміщення точки B в певний момент часу t: або

Це рівняння біжучої хвилі.

У загальному випадку рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується вздовж позитивного напрямку осі 0Х має вигляд:

де - початкова фаза коливань; - фаза плоскої біжучої хвилі.

Для характеристики хвиль використовується хвильовий вектор. напрвление якого збігається з напрямком поширення хвилі. Довжина цього вектора називається хвильовим числом. Воно характеризує швидкість зміни фази в просторі

З огляду на (3), рівняння (2) набуде вигляду:

Рівняння хвилі, що розповсюджується вздовж негативного напрямку осі 0Х відрізняється від (4) знаком доданка kx.

З умови отримуємо вираз для фазової швидкості:.

Будь-яку несинусоїдальну хвилю можна замінити еквівалентною їй системою синусоїдальних хвиль - групою хвиль, або хвильовим пакетом. Спектр частот такої хвилі - це сукупність значень частот синусоїдальних хвиль.

Швидкість поширення хвилі може залежати від частоти (довжини хвилі). У цьому випадку говорять, що має місце явище дисперсії. А таке середовище називають диспергирующей. У недіспергирующего середовищі все синусоїдальні хвилі, що утворюють хвильовий пакет, мають однакові фазові швидкості v. У диспергирующей середовищі - різні. В цьому випадку хвильовий пакет переміщується зі швидкістю, званої групової. Групова швидкість хвилі (пакета) - це швидкість перенесення енергії цією хвилею:. Зв'язок між групової та фазової швидкостями визначається виразом:. У недіспергирующего середовищі: і групова швидкість збігається з фазовою.

Виберемо сукупність точок, що належать суцільному середовищі і лежать на одній прямій, вздовж якої поширюється поздовжня хвиля.

Нехай зміщення деякої точки, що лежить на цій прямій, з положення рівноваги одно s. Відстань між точками - dx. Для точок, розташованих на відстані dx зміщення становлять s і s + ds, тобто при переміщенні точки на відстань dx зміщення змінюється на величину ds.

Якщо e> 0 - відстань між точками збільшується - розтягнення середовища; якщо e<0 – сжатие.

Нехай відомо рівняння плоскої біжучої хвилі:,

перша похідна за часом: (1)

і по координаті: (2)

Порівнюючи (1) і (2). отримаємо:.

Звідси видно, що деформація середовища має за абсолютним значенням найбільшу величину в тих точках. де швидкість тих, хто вагається точок - найбільша, тобто де точки проходять через положення рівноваги. З (1) і (2) знайдемо другі похідні:

Звідси отримаємо диференціальне рівняння, за допомогою якого описується поширення хвилі вздовж осі 0Х:

Отримали диференціальне рівняння, рішенням якого є рівняння хвилі. У тривимірному випадку поширення хвилі в середовищі описується диференціальним рівнянням в приватних похідних, яке називається хвильовим рівнянням і має вигляд:

де S - фізична величина, яка характеризує обурення, що поширюється в середовищі з швидкість v;