Факторизация - це
Ілюстрація полінома x 2 + cx + d = (x + a) (x + b), де a + b одно c і a * b одно d.
В математиці факторизация або факторинг - це декомпозиція об'єкта (наприклад, числа. Полінома або матриці) в твір інших об'єктів або факторів. які, будучи перемноження. дають вихідний об'єкт. Наприклад, число 15 факторізуется на прості числа 3 і 5, а поліном x 2 - 4 факторізуется на (x - 2) (x + 2). В результаті факторизації у всіх випадках виходить твір простіших об'єктів, ніж вихідний.
Метою факторизации є приведення об'єкта до «основним будівельним блокам», наприклад, число до простих чисел, многочлен - до непріводімим многочленів. Факторизация цілих чисел забезпечується основною теоремою арифметики. а многочленів - основною теоремою алгебри.
Протилежністю факторизации полиномов є їх розширення, множення поліноміальних факторів для отримання «розширеного» многочлена, записаного у вигляді суми доданків.
Факторизация цілих чисел для великих чисел є завданням великої складності. Не існує ніякого відомого способу, щоб вирішити цю задачу швидко. Її складність лежить в основі деяких алгоритмів безпеки з відкритим ключем шифрування. таких як RSA.
Матриця може також бути факторізовано на твір матриць спеціального виду для додатків, в яких ця форма зручна. Одним з основних прикладів цього є використання ортогональних. унітарних і трикутних матриць. Існують різні способи факторизации: QR-розкладання. LQ. QL. RQ. RZ.
Ще одним прикладом є факторизація функцій у вигляді композиції інших функцій, що мають певні властивості. Наприклад, кожна функція може розглядатися як композиція сюр'ектівной функції з ін'єкційних. Цей підхід є узагальненням поняття факторизации систем.
Цілі числа
За основною теоремою арифметики кожне натуральне число має єдине розкладання на прості множники. Існує безліч алгоритмів факторизації цілого, за допомогою яких можна факторізовать будь-яке натуральне число до складу його простих множників за допомогою рекурентних формул. Однак, для дуже великих чисел ефективний алгоритм поки невідомий.
квадратичні поліноми
Будь-квадратичний поліном на комплексних числах (поліноми виду, де:,, і ∈) можна факторізовать виразами виду, використовуючи квадратне рівняння. Цей метод полягає в наступному:
де: і є двома країнами полінома, знайденими при вирішенні квадратного рівняння.
Поліноми на цілих числах
Можна кожен біном прирівняти нулю і знайти для x два кореня. Для факторингу досить використовувати саме ці формули для вирішення квадратного рівняння. Візьмемо для прикладу 2x 2 - 5x + 2 = 0. Оскільки a = 2 і mn = a. mn = 2, що означає, що m і n рівні 1 і 2. Тепер ми маємо (2x + p) (x + q) = 0. Оскільки c = 2 і pq = c, pq = 2, що означає, що p і q рівні 1 і 2, або один з них -1, а інший -2. Подстановляя 1 і 2, або -1 і -2 замість p і q (оскільки pn + mq = b), ми бачимо, що 2x 2 - 5x + 2 = 0 факторізуется в (2x - 1) (x - 2) = 0 , даючи коріння x =
Зауваження: бистий спосіб визначення, чи є другий член позитивним або негативним (як у наведеному прикладі, 1 і 2 або -1 і -2) полягає у перевірці другої операції тричлена (+ або -). Якщо стоїть +, тоді перевіряємо першу операцію: якщо вона теж +, член буде позитивним, а якщо операція -, то член буде негативним. Якщо друга операція -, то один член буде позитивний, другий негативний. Така перевірка є єдиним способом визначення, який член буде позитивним, а який негативним.
Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами має дискримінант. який є повним квадратом, то многочлен факторізуемих цілими числами.
Розглянемо, наприклад, поліном 2x 2 + 2x - 12. Якщо підставити значення в квадратичну формулу, то дискриминант b 2 - 4ac буде 2 2 - 4 × 2 × -12 і дорівнює 100. Кількість 100 є повним квадратом, тому поліном 2x 2 + 2x - 12 факторізуется цілими числами; ці фактори дорівнюють 2, (x - 2), and (x + 3).
Тепер розглянемо поліном x 2 + 93x - 2. Його дискримінант 93 2 - 4 × 1 × (-2) дорівнює 8657, що не є повним квадратом. Тому вираз x 2 + 93x - 2 не можна факторізовать цілими числами.
Повний квадратний тричлен
Ілюстрація ідентичності (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Деякі квадратні рівняння можна факторізовать двома однаковими біном. Такі рівняння називаються повним квадратним тричленної. Повний квадратний тричлен можна факторізовать наступним чином:
Сума / різниця двох квадратів
Інший загальний метод алгебраїчного факторингу називають різницею двох квадратів. Він полягає в застосуванні формули
до будь-яких двом членам, незалежно від того, є вони повним квадратним рівнянням чи ні. Якщо два члена віднімаються, то потрібно просто застосувати формулу. Якщо вони складаються, то обидва бинома, получінние з факторингу, матимуть уявний член. Ця формула може бути представлена у вигляді
Наприклад, можна факторізовать на.
угруповання
Ще одним методом факторизації деяких полиномов є факторинг угрупованням. Для тих, хто любить розробляти алгоритми, «факторинг угрупованням» може бути самим приємним підходом до факторингу тричлена, оскільки в ньому потрібно будувати здогади щодо способу завершення процесу.
Факторинг угрупованням робиться шляхом розташування членів многочлена на дві або більшу кількість груп, кожна з яких може бути факторізовано відомим способом. Результати цих факторизацию іноді можна скомбінувати так, щоб отримати більш простий вислів. Наприклад, щоб факторізовать поліном
згрупуємо подібні члени:
і факторізуем на біном
Якщо квадратний тричлен має рішення на раціональних числах, ми можемо знайти p і q такі, що pq = ac і p + q = b. (Якщо дискримінант є квадратом числа, то вони існують, в іншому випадку ми будемо мати ірраціональні або комплексні рішення, і припущення про раціональне рішення є неприпустимим.)
Верхні члени матимуть спільні фактори, які можуть використовуватися для позбавлення від знаменника, якщо він не дорівнює 1. Як приклад розглянемо квадратичний поліном
Перевірка факторів ac = 36 призводить до 4 + 9 = 13 = b.
інші поліноми
Сума / різниця двох кубів
Виконаємо факторинг суми і різниці двох кубів. Суму двох кубів можна представити у вигляді:
Наприклад, x 3 - 10 3 (або x 3 - 1000) можна факторізовать у вигляді: (x - 10) (x 2 + 10x + 100).
Дивитися що таке "Факторизация" в інших словниках:
Факторизації - в теорії графів розкладання графа на непересічні по ребрах остовне підграфи спеціального виду. У загальному випадку фактор є кістяк підграф, що володіє заданою властивістю. Прикладом такої властивості є регулярність подграфа. Регулярний ... ... Математична енциклопедія
факторизация - факторіз ація, і ... український орфографічний словник
Факторизация Ленстра за допомогою еліптичних кривих - (англ. Elliptic curve factorization method, скор. ECM) алгоритм факторизації натурального числа з використанням еліптичних кривих. Даний алгоритм має субекспоненціальное час виконання. Є третім за швидкістю роботи після ... ... Вікіпедія
Факторизация за допомогою еліптичних кривих - (англ. Elliptic curve method, скор. ECM) алгоритм факторизації натурального числа з використанням еліптичних кривих. Даний алгоритм має субекспоненціальное час виконання. Є третім за швидкістю роботи після загального ... ... Вікіпедія
Факторизация цілих чисел - факторизації натурального числа називається його розкладання в твір простих множників. Існування і єдиність (з точністю до порядку проходження множників) такого розкладу випливає з основної теореми арифметики. На відміну від ... ... Вікіпедія
Ставлення еквівалентності - Цей термін має також інші значення див. Еквівалентність. Ставлення еквівалентності () на безлічі це бінарне відношення, для якого виконані наступні умови: Рефлексивність: для будь-якого в. Симетричність: якщо ... Вікіпедія
- Факторизация цілих чисел. Джессі Рассел. Ця книга буде виготовлена в відповідності з Вашим замовленням за технологією Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Факторіза? Єю натурального числа називається його ... Детальніше Купити за тисячі сто двадцять п'ять руб
- Факторизация за допомогою еліптичних кривих. Джессі Рассел. Ця книга буде виготовлена в відповідності з Вашим замовленням за технологією Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Факторизация за допомогою еліптичних кривих (англ. ... Детальніше Купити за 1125 руб
- Факторизация. Джессі Рассел. Ця книга буде виготовлена в відповідності з Вашим замовленням за технологією Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! В математиці факторіза? Ція або фа? Кторінг - це ... Детальніше Купити за 950 руб