Енергія і імпульс

Сторінка 1 з 3

Імпульсом частки називається, як відомо, вектор р = ∂L / ∂v (∂L / ∂v - символічне позначення вектора, компо ненти якого рівні похідним від L за відповідними компонентами v). За допомогою (8.2) знаходимо

При малих швидкостях (v <

Похідна від імпульсу за часом є сила, дію щая на частку. Нехай швидкість частинки змінюється тільки по напрямку, тобто сила спрямована перпендикулярно швидкості. тоді

Якщо ж швидкість змінюється тільки за величиною, т. Е. Сила направ лена за швидкістю, то

Ми бачимо, що в обох випадках відношення сили до прискорення різному.

Енергією частинки називається величина

Підставляючи сюди вирази (8.2) і (9.1) для L і p. отримаємо

Ця дуже важлива формула показує, зокрема, що в релятивістській механіці енергія вільної частки не обра щается в нуль при v = 0, а залишається кінцевою величиною, рівною

Її називають енергією спокою частки.

При малих швидкостях (v <

т. е. за вирахуванням енергії спокою класичне вираз для ки генетичних енергії частинки.

Підкреслимо, що хоча ми говоримо тут про «частці», але її «елементарність» ніде не використовується. Тому отримані формули в рівній мірі застосовні і до будь-якого складного тіла, що складається з багатьох частинок, причому під m треба поні мати повну масу тіла, а під v - швидкість його руху в цілому. Зокрема, формула (9.5) справедлива і для будь-якого покоїться як ціле тіла. Звернемо увагу на те, що енер гія вільного тіла (тобто енергія будь-якої замкнутої системи) виявляється в релятивістській механіці цілком певної, завжди позитивною величиною, безпосередньо пов'язаної з масою тіла. Нагадаємо в зв'язку з цим, що в класичній механи ке енергія тіла визначена лише з точністю до довільної аддитивной постійної, і може бути як позитивною, так і негативною.

Енергія покоїться тіла містить в собі, крім енергій спокою входять до його складу частинок, також кінетичну енер гію частинок і енергію їх взаємодії один з одним. Други ми словами, mc 2 не дорівнює сумі Σmα c 2 (mα - маси часток), а тому і m не дорівнює Σmα. Таким чином, в релятивістській механіці не має місця закон збереження маси: маса складність ного тіла не дорівнює сумі мас його частин. Замість цього має місце тільки закон збереження енергії, в яку включається також і енергія спокою частинок.

Зводячи вираження (9.1) і (9.4) в квадрат і порівнюючи їх, знайдемо наступне співвідношення між енергією і імпульсом частинки:

= P 2 + m 2 c 2. (9.6)

Енергія, виражена через імпульс, називається, як відомо, функцією Гамільтона: