Елементарні перетворення матриці

Елементарними перетвореннями рядків називають:

• перестановку місцями будь-яких двох рядків матриці;
• множення будь-якого рядка матриці на константу k. k ≠ 0. при цьому визначник матриці збільшується в k раз;
• додаток до будь-якому рядку матриці іншого рядка.

У деяких курсах лінійної алгебри перестановка рядків матриці не виділяється в окреме елементарне перетворення в силу того, що перестановку місцями будь-яких двох рядків матриці можна отримати, використовуючи множення будь-якого рядка матриці на константу k. k ≠ 0 і додаток до будь-якому рядку матриці іншого рядка, помноженої на константу k. k ≠ 0.

Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців.

Елементарні перетворення оборотні.

Позначення A ~ B вказує на те, що матриця A може бути отримана з B шляхом елементарних перетворень (або навпаки).

Инвариантность рангу при елементарних перетвореннях

Теорема (про інваріантності рангу при елементарних перетвореннях).
Якщо A ~ B. то r a n g A = r a n g B A = \ mathrm B>.

Еквівалентність СЛАР при елементарних перетвореннях

Назвемо елементарними перетвореннями над системою лінійних алгебраїчних рівнянь.

• перестановку рівнянь;
• множення рівняння на ненульову константу;
• складання одного рівняння з іншим, помноженим на деяку константу.
  

Тобто елементарні перетворення над її розширеною матрицею. Тоді справедливо наступне твердження:

Теорема (про еквівалентність систем рівнянь при елементарних перетвореннях).
Система лінійних алгебраїчних рівнянь, отримана шляхом елементарних перетворень над вихідною системою, еквівалентна їй.

Нагадаємо, що дві системи називаються еквівалентними, якщо безлічі їх рішень збігаються.

Знаходження зворотних матриць

Теорема (про знаходження зворотної матриці).
Нехай визначник матриці A n × n> не дорівнює нулю, нехай матриця B визначається виразом B = [A | E] n × 2 n>. Тоді при елементарному перетворенні рядків матриці A до одиничної матриці E в складі B одночасно відбувається перетворення E до A - 1>.

Приведення матриць до ступінчастому увазі

Введемо поняття східчастих матриць: Матриця A має ступінчастий вигляд. якщо:

1. Всі нульові рядки матриці A стоять останніми;
   
2. Для будь-який ненульовий рядки матриці A (нехай для визначеності її номер дорівнює k) справедливо наступне: якщо a k j> - перший ненульовий елемент рядка k. то ∀ i. l. i> k. l ≤ j a i l = 0 = 0>.

Тоді справедливо наступне твердження:

Теорема (про приведення матриць до ступінчастому увазі).
Будь-яку матрицю шляхом елементарних перетворень тільки над рядками можна привести до східчастого увазі.

Елементарна матриця. Матриця А є елементарною, якщо множення на неї довільної матриці В призводить до елементарних перетворень рядків в матриці В.