Елементарні перетворення матриць

Елементарні перетворення матриці знаходять широке застосування в різних математичних задачах. Наприклад, вони складають основу відомого методу Гаусса (методу виключення невідомих) для розв'язання системи лінійних рівнянь [1].

До елементарним перетворенням відносяться:

1) перестановка двох рядків (стовпців);

2) множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на деяке число, не рівне нулю;

3) складання двох рядків (стовпців) матриці, помножених на одне і те ж число, відмінне від нуля.

Дві матриці називаються еквівалентними. якщо одна з них може бути отримана з іншого після кінцевого числа елементарних перетворень. У загальному випадку еквівалентні матриці рівними не є, але мають один і той же ранг.

Обчислення визначників за допомогою елементарних перетворень

За допомогою елементарних перетворень легко обчислити визначник матриці. Наприклад, потрібно обчислити визначник матриці:

Тоді можна винести множник:

тепер, віднімаючи з елементів j-го стовпця відповідні елементи першого стовпчика, помножені на. отримаємо визначник:

який дорівнює: де

Потім повторюємо ті ж дії для і, якщо всі елементи то тоді остаточно отримаємо:

Якщо для якогось проміжного визначника виявиться, що його лівий верхній елемент. то необхідно переставити рядки або стовпці в так, щоб новий лівий верхній елемент був не дорівнює нулю. якщо # 916; ≠ 0, то це завжди можна зробити. При цьому слід враховувати, що знак визначника змінюється в залежності від того, який елемент є головним (тобто, коли матриця перетворена так, що). Тоді знак відповідного визначника дорівнює.

П р и м і р. За допомогою елементарних перетворень привести матрицю

до трикутного вигляду.

Р і ш е н і е. Спочатку помножимо перший рядок матриці на 4, а другу на (-1) і додамо перший рядок до другої:

Тепер помножимо перший рядок на 6, а третю на (-1) і додамо перший рядок до третьої:

Нарешті, помножимо 2-й рядок на 2, а 3-ю на (-9) і додамо другий рядок до третьої:

В результаті отримана верхня трикутна матриця

Приклад. Вирішити систему лінійних рівнянь, використовуючи матричний апарат:

Р і ш е н і е. Запишемо дану систему лінійних рівнянь в матричній формі:

Рішення даної системи лінійних рівнянь в матричній формі має вигляд:

де - матриця, обернена до матриці А.

Визначник матриці коефіцієнтів А дорівнює:

отже, матриця А має зворотну матрицю.

Спочатку знайдемо приєднану матрицю Ã. яка в даному прикладі має вигляд:

де - алгебраїчні доповнення відповідних елементів матриці А.

У нашому випадку отримаємо:

Тоді обернена матриця дорівнює:

Тепер знайдемо рішення заданої системи рівнянь. Так як, то

Таким чином, рішення даної системи рівнянь:

1. Демидович Б.П. Марон І.А. Основи обчислювальної математики. - М. Наука, 1970. - 664 с.

2. Мальцев А.І. Основи лінійної алгебри. - М. Наука, 1975. - 400 с.

3. Бронштейн І.М. Семендяев К.А. Довідник з математики для інженерів і учнів втузів. - М. Наука, 1986. - 544 с.