Елементарні перетворення матриць - студопедія

2.5.1. Визначення. Елементарними перетвореннями рядків матриці називається перетворення наступних типів:

1) Множення кожного елемента деякої рядка на один і той же нульове число. Решта рядків залишаються без зміни (коротко: множення рядка на число).

2) Додаток до кожного елементу деякою рядки відповідних елементів іншого рядка, помножені на одне і те ж число. Решта рядків (в тому числі і прибавляемое) залишаються без зміни (коротко: додаток до рядка інший, помноженої на число).

3) Зміна місцями деяких двох рядків матриці. Решта рядків залишаються без зміни.

Ці перетворення називаються відповідно перетвореннями першого. другого і третьеготіпа (роду). Послідовно застосовуючи їх, ми отримуємо більш складні перетворення.

Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців матриці.

2.5.2. Теорема.Преобразованіе третього типу є деякою комбінацією перетворень першого і другого типів.

Таким чином, перетворенням третього типу можна віднести до більш складним, ніж елементарні. Але його прийнято все-таки вважати елементарним заради зручності.

2.5.3. Теорема. Будь-яку матрицю елементарними перетвореннями рядків можна привести до ступінчастою. Якщо до матриці застосувати елементарні перетворення рядків і стовпців. то її можна привести до трапеціедально увазі.

á(1) Поміняли місцями першу і другу рядки (перетворення третього типу).

(2) Перший рядок, помножену на 2, додали до другої і відняли з третьої, помножену на 3, додали до четвертої (перетворення другого типу).

(3) Другий рядок відняли з третьої і другий рядок, помножену на 14/11 відняли з четвертої.

(4) Поміняли місцями третю і четверту рядки.ñ

Таким чином, перетворили вихідну матрицю

Тепер, помінявши місцями другий і третій стовпець, а потім поміняв його ж з четвертим стовпчиком, переміщаємо другий стовпець на місце четвертого, третій і четвертий стовпчики опиняться відповідно на місці другого і третього стовпців:

тим самим перетворили вихідну матрицю в трапеціедально.

2.5.4. Вправи. Привести матрицю до ступінчастого і трапеціедально видам: