Єгипетський трикутник

Тема урока

Мета уроку

• Познайомитися з новими визначеннями і згадати деякі вже вивчені.
• Поглибити знання з геометрії, вивчити історію походження.
• Закріпити теоретичні знання учнів про трикутниках в практичній діяльності.
• Ознайомити учнів з Єгипетським трикутником і його застосуванням у будівництві.
• Навчитися застосовувати властивості фігур при розв'язуванні задач.
• Розвиваючі - розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичну мову.
• Виховні - за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

завдання уроку

• Перевірити вміння учнів розв'язувати задачі.

план уроку

1. Вступне слово.
2. Корисно пригадати.
3. Тоеугольнік.
4. Єгипетський трикутник.

Вступне слово

Чи знали в стародавньому Єгипті математику і геометрію? Не тільки знали, а й постійно використовували її при створенні архітектурних шедеврів і навіть. при щорічній розмітці полів, на яких вода під час повені знищувала все межи. Навіть існувала спеціальна служба землемірів, які швидко за допомогою геометричних прийомів відновлювали кордону полів, коли вода спадала.

Поки невідомо, як ми будемо називати наше молоде покоління, яке виростає на комп'ютерах, які дозволяють не заучувати напам'ять таблицю множення і не проводити в думці інші елементарні математичні обчислення або геометричні побудови. Може бути, человекороботамі або киборгами. Греки ж називали тих, хто не міг без сторонньої допомоги довести просту теорему, профанами. Тому не дивно, що саму теорему, яка широко використовувалася в прикладних науках, в тому числі і для розмітки полів або будівництва пірамід, стародавні греки називали «мостом ослів». А вони дуже добре знали єгипетську математику.

корисно пригадати

трикутник

Трикутник прямолінійний, частина площини, обмежена трьома відрізками прямих (сторони Трикутника (в геометрії)), що мають попарно за одним загальним кінця (вершини Трикутника (в геометрії)). Трикутник, у якого довжини всіх сторін рівні, називається рівностороннім. або правильним. Трикутник з двома рівними сторонами - рівнобедреним. Трикутник називається гострокутним. якщо всі кути його гострі; прямокутним - якщо один з його кутів прямий; тупоугольние - якщо один з його кутів тупий. Більше одного прямого або тупого кута Трикутник (в геометрії) мати не може, так як сума всіх трьох кутів дорівнює двом прямим кутам (180 ° або, в радіанах, p). Площа Трикутник (в геометрії) дорівнює ah / 2, де а - будь-яка зі сторін Трикутника, яка приймається за його підставу, a h - відповідна висота. Сторони Трикутника підпорядковані умові: довжина кожної з них менше суми і більше різниці довжин двох інших сторін.

Трикутник - найпростіший багатокутник. має 3 вершини (кута) і 3 боку; частина площини, обмежена трьома точками, і трьома відрізками, попарно з'єднують ці точки.

• Трьом точкам простору, які не лежать на одній прямій, відповідає одна і тільки одна площина.
• Будь багатокутник можна розбити на трикутники - цей процес називається тріангуляція.
• Існує розділ математики, цілком присвячений вивченню закономірностей трикутників - Тригонометрія.
  

типи трикутників

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180 °, то не менше двох кутів в трикутнику мають бути гострими (меншими 90 °). Виділяють наступні види трикутників:

• Якщо всі кути трикутника гострі, то трикутник називається гострокутним;
• Якщо один з кутів трикутника тупий (більше 90 °), то трикутник називається тупоугольние;
• Якщо один з кутів трикутника прямий (дорівнює 90 °), то трикутник називається прямокутним. Дві сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, протилежна прямому куті, називається гіпотенузою.
  

За кількістю рівних сторін

• Різнобічним називається трикутник, у якого довжини трьох сторін попарно різні.
• Рівнобедреним називається трикутник, у якого дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними, третя сторона називається підставою. У трикутник кути при основі рівні. Висота, медіана і бісектриса рівнобедреного трикутника, опущені на підставу, збігаються.
• Рівностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони рівні. У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні 60 °, а центри вписаного і описаного кіл збігаються.

Єгипетський трикутник

Єгипетський трикутник - прямокутний трикутник із співвідношенням сторін 3: 4: 5. Сума зазначених чисел (3 + 4 + 5 = 12) з давніх часів використовувалася як одиниця кратності при побудові прямих кутів за допомогою мотузки, розміченій вузлами на 3/12 і 7/12 її довжини. Застосовувався єгипетський трикутник в архітектурі середньовіччя для побудови схем пропорційності.

Отже, з чого ж почати? Хіба ось з цього: 3 + 5 = 8. а число 4 становить половину числа 8. Стоп! Числа 3, 5, 8. Хіба вони не нагадують щось дуже знайоме? Ну звичайно, вони мають пряме відношення до золотого перетину і входять в так званий «золотий ряд»: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. У цьому ряду кожний наступний член дорівнює сумі двох попередніх: 1 + 1 = 2. 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8 і так далі. Виходить, що єгипетський трикутник має відношення до золотого перетину? І древні єгиптяни знали, з чим мали справу? Але не будемо поспішати з висновками. Необхідно з'ясувати деталі точніше.

Для доведення теореми про єгипетському трикутнику необхідно використовувати відрізок прямої задовгі А-А1 (рис.). Він буде служити масштабом, одиницею виміру, і дозволить визначити довжину всіх сторін трикутника. Три відрізка А-А1 рівні по довжині найменшою зі сторін трикутника ВС, у якій співвідношення дорівнює 3. А чотири відрізка А-А1 рівні по довжині другій стороні, у якій співвідношення виражається числом 4. І, нарешті, довжина третьої сторони дорівнює п'яти відрізків А -А1. А далі, як то кажуть, справа техніки. На папері проведемо відрізок ВС, що є найменшою стороною трикутника. Потім з точки В радіусом, рівним відрізку з співвідношенням 5, проводимо циркулем дугу окружності, а з точки С -дугу окружності радіусом, рівним довжині відрізка з співвідношенням 4. Якщо тепер точку перетину дуг з'єднати лініями з точками В і С, то отримаємо прямокутний трикутнику співвідношенням сторін 3. 4. 5.

Що й потрібно було довести.

Застосовувався єгипетський трикутник в архітектурі середньовіччя для побудови схем пропорційності і для побудови прямих кутів землемірами і архітекторами. Єгипетський трикутник є найпростішим (і першим відомим) з героновой трикутників - трикутників з цілочисельними сторонами і площами.

Єгипетський трикутник - загадка давнини

Кожному з вас відомо, що Піфагор був великим математиком, який зробив неоціненний внесок у розвиток алгебри і геометрії, але ще більше він завоював популярність завдяки своїй теоремі.

А відкрив Піфагор теорему Єгипетського трикутника в той час, коли йому довелося побувати в Єгипті. Перебуваючи в цій країні, вчений був зачарований пишністю і красою пірамід. Можливо, якраз це і стало поштовхом, який піддав його на думку про те, що в формах пірамід чітко простежується якась певна закономірність.

Історія відкриття

Назва єгипетський трикутник отримав завдяки еллінам і Піфагору, які були частими гостями в Єгипті. І сталося це приблизно в VII-V століттях до н. е.

Знаменита піраміда Хеопса, взагалі-то є прямокутним багатокутник, а ось священним єгипетським трикутником прийнято вважати піраміду Хефрена.

Жителі Єгипту природу Єгипетського трикутника, як писав Плутарх, зіставляли з сімейним вогнищем. В їх трактуваннях можна було почути, що в цій геометричній фігурі її вертикальний катет символізував чоловіка, підстава фігури відносилося до жіночого начала, а гіпотенузі піраміди відводилася роль дитини.

А вже з вивченої теми вам добре відомо, що співвідношення сторін цієї фігури дорівнює 3: 4: 5 і, отже, що це нас приводить до теореми Піфагора, так як 32 + 42 = 52.

І якщо врахувати, що в основі піраміди Хефрена лежить єгипетський трикутник, то можна зробити висновок, народ стародавнього світу знав знамениту теорему ще задовго до того, як вона була сформульована Пифагором.

Основною особливістю єгипетського трикутника, швидше за все, було його своєрідне співвідношення сторін, яке було першим і найпростішим з героновой трикутників, так як і сторони, і його площа мали цілі числа.

Особливості єгипетського трикутника

А тепер давайте більш докладно зупинимося на відмінностях єгипетського трикутника:

• По-перше, як ми вже говорили, все його боку і площа складаються з цілих чисел;

• По-друге, по теоремі Піфагора нам відомо, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи;

• По-третє, за допомогою такого трикутника можна відмірювати прямі кути в просторі, що дуже зручно і необхідно при будівництві споруд. А зручність полягає в тому, що ми знаємо, що цей трикутник є прямокутним.

• По-четверте, як нам теж вже відомо, що навіть якщо немає відповідних вимірювальних приладів, то цей трикутник можна запросто побудувати за допомогою простої мотузки.

Застосування єгипетського трикутника

У Стародавні століття в архітектурі і будівництві єгипетський трикутник користувався величезною популярністю. Особливо він був необхідний, якщо для побудови прямого кута використовували мотузку або шнур.

Адже відомо, що відкласти прямий кут в просторі, є досить таки складним заняттям і тому підприємливі єгиптяни винайшли цікавий спосіб побудови прямого кута. Для цих цілей вони брали мотузку, на якій відзначали вузликами дванадцять рівних частин і потім з цієї мотузки складали трикутник, зі сторонами, які дорівнювали 3. 4 і 5 частин і в підсумку без проблем, отримували прямокутний трикутник. Завдяки такому мудрому інструменту, єгиптяни з величезною точністю розміряли землю для сільськогосподарських робіт, будували будинки і піраміди.

Ось так відвідування Єгипту і вивчення особливостей єгипетської піраміди підштовхнуло Піфагора на відкриття своєї теореми, яка, до речі, потрапила в Книгу Рекордів Гіннеса, як теорема, яка має найбільшу кількість доказів.

Цікавий факт

Трикутні колеса Рело

Колесо - круглий (як правило), що вільно обертається або закріплений на осі диск, що дозволяє поставленому на нього тілу котитися, а не ковзати. Колесо повсюдно використовується в різних механізми та інструменти. Широко застосовується для транспортування вантажів.

Колесо істотно зменшує витрати енергії на переміщення вантажу по відносно рівній поверхні. При використанні колеса робота здійснюється проти сили тертя кочення, яка в штучних умовах доріг суттєво менше, ніж сила тертя ковзання. Колеса бувають суцільні (наприклад, колісна пара залізничного вагона) і складаються з досить великої кількості деталей, наприклад, до складу автомобільного колеса входить диск, обід, покришка, іноді камера, болти кріплення і тд. Знос покришок автомобілів є майже вирішеною проблемою (при правильно встановлених кутах коліс). Сучасні покришки проїжджають понад 100 000 км. Великою проблемою є знос покришок у коліс літаків. При зіткненні нерухомого колеса з бетонним покриттям злітної смуги на швидкості в кілька сотень кілометрів на годину знос покришок величезний.

1. Що таке трикутник?
2. Види трикутників?
3. У чому особливість єгипетського трикутника?
4. Де застосовується єгипетський трикутник?

Список використаних джерел

1. Кузнєцов А. В. вчитель математики (5-9 клас), г. Киев
2. Мазур К. І. «Рішення основних конкурсних завдань з математики збірника під редакцією М. І. Сканаві»
3. Кобичева Марина Вікторівна, вчитель математики