Дослідження функції на неперервність
Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Нехай функція визначена на інтервалі. що містить точку. за винятком, можливо, самої точки.
Крапка . в якій не виконується хоча б одна з умов безперервності функції, називається точкою розриву функції. Точки розриву бувають двох типів.
Точка називається точкою розриву I-го роду, якщо функція не визначена в ній, але існують кінцеві односторонні межі. При цьому, якщо. то точка - точка усувного розриву. Якщо односторонні межі не рівні між собою, тобто. то - точка розриву I-го роду типу "кінцевого стрибка". Число називається стрибком функції в точці.
Точка називається точкою розриву II-го роду, якщо хоча б один з односторонніх меж не існує або дорівнює нескінченності.
Схема дослідження функції на неперервність:
1) Знайти область визначення функції, точки розриву.
2) Визначити тип точок розриву.
3) Визначити характер розриву в точках розриву I-го роду.
4) Знайти вертикальні асимптоти. якщо -точка розриву II-го роду.
5) Знайти, якщо є, горизонтальні асимптоти графіка функції де.
6) Побудувати ескіз графіка функції хоча б в околиці точок розриву, якщо важко побудувати його в цілому.
Прімер12. Дослідити на неперервність функції
а); б) і побудувати ескізи їх графіків.
Функція визначена на всій числовій осі. Підозрілої на розрив точкою є точка. Знайдемо односторонні межі функції в цій точці:. отже, функція неперервна як при. так і при всіх інших значеннях. Вертикальних асимптот немає, так як немає точок розриву II-го роду. Горизонтальних асимптот немає теж, оскільки. Графік функції зображений на рис.1.
Питання до теорії:
1. Дійсні числа. Властивості дійсних чисел.
2. Функція. Приклади функцій.
3. Поняття границі функції в точці. Геометричний сенс границі функції.
4. Теорема про обмеженість функції, що має межу.
5. Теорема про перехід до межі в нерівностях
6. Теорема про межі проміжної функції.
7. Теорема про арифметичні операції над межами.
8. Поняття складної функції. Теорема про заміну змінної для меж функції.
9. Межа функції в нескінченності. Невизначеності.
10. Поняття числової послідовності та її межі.
11. Теоремі про межі монотонної обмеженої послідовності. Число е. Натуральні логарифми.
12. Теорема Больцано - Вейерштрасса.
13. Неперервність функції в точці. Теорема про неперервність суми, твори, приватного безперервних функцій.
14. Безперервність основних елементарних функцій. Гіперболічні функції, їх графіки.
15. Теорема про неперервність складної функції.
16. Зворотна функція, теорема про існування безперервної зворотного функції.
17. Перший чудовий межа.
18. Нескінченно малі функції та їх основні властивості.
19. Другий чудовий межа.
20. Теорема про зв'язок між функцією, її межею і нескінченно малої.
21. Нескінченно великі функції. Зв'язок між нескінченно малими і нескінченно великими функціями.
22. Порівняння нескінченно малих функцій.
23. Умова еквівалентності нескінченно малих функцій.
24. Таблиця еквівалентностей.
25. Теорема про еквівалентних нескінченно малих, застосовувана при обчисленні меж.
26. Класифікація розривів функції. Схема дослідження функцій на неперервність.
1. Довести еквівалентність нерівностей:.
2. Довести, що для будь-яких і мають місце нерівності:.
3. Довести, що якщо. то.
4. Довести, що відкидання або заміна кінцевого числа членів послідовності не впливають на збіжність послідовності, причому в разі сходящейся послідовності не впливають на величину межі.
5. Нехай. а не існує,. Що можна сказати про в кожному з цих випадків?
6. Нехай має межу в точці. а функція не має границі в цій точці. Чи будуть існувати межі:. . розглянути приклад
7. При яких значеннях функція буде не обмежена при?
8. Функцію. має межа при. представити у вигляді суми постійної величини і деякої функції, нескінченно малої при.
9. Довести, що якщо - безперервна функція, то функція також безперервна. Чи вірно зворотне твердження?
10. Дослідити безперервність функції Дирихле.