Дослідження функції на максимум і мінімум за допомогою похідної
Проводити дослідження заданої функції на мінімум і максимум можна двома способами:
- за допомогою першої похідної - $ f '(x) $;
- за допомогою другої похідної - $ f '' (x) $.
Алгоритм дослідження за допомогою першої похідної включає наступні етапи:
- знаходження першої похідної заданої функції - $ f '(x) $;
- знаходження критичних точок ($ f '(x) = 0 $ або не існує);
- дослідження знака $ f '(x) $ за допомогою числової прямої;
- визначення характеру критичної точки;
- обчислення значення $ f (x) $ при кожному критичному значенні змінної.
Всі можливі варіанти, які можуть вийти в результаті дослідження, зведемо в одну таблицю.
Дослідити задану функцію на мінімум і максимум: $ y = 3x ^ -5x $.
Знайдемо першу похідну заданої функції: $ y '= (3x ^ -5x)' = 6x-5 $.
Знайдемо критичні точки:
Так як похідна заданої функції змінює знак з «-» на «+», то маємо точку мінімуму.
Обчислимо значення заданої функції в точці мінімуму:
Графік заданої функції наведено на рис.
Знайдемо першу похідну заданої функції: $ y '= (3x ^ +2)' = 9x ^ $.
Знайдемо критичні точки:
- Так як похідна заданої функції не змінює знак при переході через критичну точку, то в даній точці немає ні максимуму, ні мінімуму.
Графік заданої функції наведено на рис.
Для дослідження заданої функції на мінімум і максимум за допомогою другої похідної необхідно користуватися наступною теоремою.
Розглянемо функцію $ y = f (x) $. Нехай $ x_ $ - критична точка ($ f '(x_) = 0 $).
Тоді дана функція має максимум в критичній точці $ x = x_ $, якщо $ f '' (x_) 0 $.
Якщо $ f '' (x_) = 0 $ в критичній точці $ x = x_ $, то для даної функції $ y = f (x) $ не можна визначити за допомогою другої похідної характер критичної точки.
Алгоритм дослідження за допомогою першої похідної включає наступні етапи:
- знаходження першої похідної заданої функції - $ f '(x) $;
- знаходження критичних точок ($ f '(x) = 0 $ або не існує);
- знаходження другої похідної заданої функції - $ f '' (x) $;
- дослідження знака $ f '' (x) $ в критичній точці;
- визначення характеру критичної точки;
- обчислення значення $ f (x) $ при кожному критичному значенні змінної.
Всі можливі варіанти, які можуть вийти в результаті дослідження, зведемо в одну таблицю.
Дослідити задану функцію на мінімум і максимум: $ y = 12x ^ + 4 $.
Знайдемо першу похідну заданої функції: $ y '= (12x ^ +4)' = 36x ^ $.
Знайдемо критичні точки:
Знайдемо другу похідну заданої функції: $ y '' = (36x ^) '= 72x $.
Досліджуємо знак $ f '' (x) $ в критичній точці: $ y '' (0) = 72 \ cdot 0 = 0 $
Так як друга похідна заданої функції звертається в нуль в критичній точці, то ми не можемо визначити характер критичної точки з її допомогою.
Для визначення характеру критичної точки скористаємося першою похідною. Досліджуємо знак $ f '(x) $ за допомогою числової прямої:
- Так як похідна заданої функції не змінює знак при переході через критичну точку, то в даній точці немає ні максимуму, ні мінімуму
Графік заданої функції наведено на рис.
