Дослідження дрібно-раціональної функції і побудова графіка

Загальне дослідження функцій і побудова графіків виконують за наступною схемою:

  1. Знайти область визначення функції.
  2. З'ясувати чи є функція парною, непарною, періодичною.
  3. Дослідити функцію на неперервність, знайти точки розриву і з'ясувати характер розривів.
  4. Знайти асимптоти графіка функції.
  5. Знайти точки екстремуму функції, обчислити значення функції в цих точках. Встановити інтервали монотонності функції в цих точках.
  6. Знайти точки перегину графіка функції, обчислити значення функції і значення похідної в цих точках. Встановити інтервали опуклості графіка функції.
  7. Використовуючи результати досліджень, побудувати графік функції. Якщо потрібно уточнити окремі ділянки кривої, обчислити координати декількох додаткових точок. Зокрема, рекомендується обчислювати координати точок перетину графіка з осями координат, так звані "нулі" функції.

Задайте числові параметри Вашого варіанту і натисніть кнопку "Введення."

Показники ступеня n і m повинні бути цілими позитивними однозначними числами. Коефіцієнти a, b, c, d можуть приймати будь-які цілі значення з проміжку [-99,99]. Якщо перед дробом стоїть знак "-", віднесіть його до чисельника. Не захоплюйтеся занадто великими і малими значеннями коефіцієнтів. Пам'ятайте про те, що "нескінченність" не поміститься на екрані.

Застосуємо цю схему для функції

1. Функція визначена на всій числовій осі, крім точок x = ± 2, в яких знаменник дробу звертається в нуль. Таким чином, її область визначення
D (f) = (-∞; -2) ∪ (-2; +2) ∪ (+2; + ∞).

2. Функція непарна, тому що
,
отже її графік буде симетричний відносно початку координат, тому досить досліджувати функцію в проміжку [0; + ∞).

3. Функція неперервна всередині своєї області визначення. Крайові точки цікавить частини області визначення досліджуємо одночасно з пошуком асимптот.

4. Обчислюємо межі ліворуч і праворуч від точки розриву області визначення (x = 2)

Отже пряма x = 2 є вертикальною асимптотой. А розрив функції в точці x = 2 є розривом другого роду.

Обчислюємо межа функції на нескінченності

На підставі цього результату робимо висновок про те, що горизонтальних асимптот у функції немає, але можуть бути похилі. Для пошуку похилій асимптоти обчислюємо наступні межі
і
.
Отже, крива має похилу асимптоту y = 2x. причому
Останнє означає, що при x> 2 графік функції буде розташований вище прямої y = 2x. а при x 3 x 2 - 4