додаток iii
Додаток III. векторний потенціал
У § 49 ми відзначили, що магнітну індукцію В можна представити у вигляді
де А - деяка функція, звана векторних потенціалом. Таке уявлення можливо в зв'язку з тим, що дивергенція ротора завжди дорівнює нулю. Тому умова при такому поданні виконується автоматично.
Подібно скалярному потенціалу електричного поля векторний потенціал А визначається неоднозначно. Додавання до А градієнта довільної функції не змінює значення т. Е. В. Дійсно, замінимо А через Згідно (11.38) ротор градієнта будь-якої функції рааеі іулю. Тому
Таким чином, функція
так само як і А, буде векторним потенціалом даного магнітного поля.
Взявши дивергенцію від функції (III.2), отримаємо
Підбором функції можна надати будь-яку наперед задану, зокрема нульове, значення. Таким чином, векторний потенціал завжди можна вибрати так, щоб його дивергенція дорівнювала нулю:
т. е. так, щоб поле А не мало джерел.
Зауважимо, що навіть при виконанні умови (III.3) функція А залишається неоднозначною. Для того щоб визначення векторного потенціалу було однозначним, треба задати граничні умови для А.
Рівняння Пуассона. Відповідно до (13.5) для поля в вакуумі
Замінимо в цьому співвідношенні Е на:
Ліва частина формули являє собою де - оператор Лапласа. Таким чином, ми приходимо до рівняння
яке називається рівнянням Пуассона. У розгорнутому вигляді це рівняння виглядає наступним чином:
Потенціал поля, створюваного системою зарядів, розподілених з густиною, можна отримати за допомогою принципу суперпозиції і вирази для потенціалу точкового заряду. Помітивши штрихом змінні, за якими проводиться інтегрування, отримаємо
Функція (111.6) являє собою рішення рівняння (III.4).
Підставами в формулу (49.9) замість В ротор А:
Перетворивши ліву частину за формулою (11.40), отримаємо
Вибравши А так, щоб виконувалася умова (III.3), прийдемо до рівняння
яке схоже з (III.4) і являє собою урввіенне Пуассона для векторного потенціалу.
Рівняння (III.7) еквівалентно трьом скалярним рівнянням:
Рішення цих рівнянь можна отримати, замінивши в (III.6) функцію) функцією рівняння (III.4) і (III.8)). В результаті отримаємо
Три вираження (III.9) можна об'єднати в одне векторне:
Відзначимо, що інтегрування в формулах (III.9) і (111.10) поширюється на всю область, в якій течуть струми, що створюють поле.
Формула (III. 10) дозволяє по ізвеагному розподілу струмів в просторі обчислити векторний потенціал поля, створюваного цими струмами. Визначивши потім ротор векторного потенціалу, знайдемо магнітну індукцію В поля.
Закон Біо - Савара. Обчислимо векторний потенціал, створюваний струмом поточним по тонкому проводу. Розіб'ємо провід на елементи довжини і зіставимо кожному елементу вектор модуль якого дорівнює а напрямок збігається з напрямком вектора щільності струму j в даному елементі дроти (рис. III.1). Положення елемента щодо початку координат Про визначається радіусом-вектором, а положення точки Р, в якій визначається векторний потенціал, - радіусом-вектором. Відповідно до формули (III.10) елемент струму вносить в векторний потенціал в точці з радіусом-вектором внесок, рівний
де S - площа поперечного перерізу проводу в точці, - обсяг елемента Оскільки вектори і мають однаковий напрямок, чисельник формули (III.II) можна перетворити в такий спосіб:
де - сила струму, поточного в проводі. Таким чином, формулою (111.11) можна надати вигляду
Відзначимо, що є приріст вектора на відрізку
Векторний потенціал в точці Р дорівнює сумі виразів (III.12)
Щоб підкреслити, що положення відрізка щодо початку координат Про визначається радіусом-вектором, ми записали його у вигляді Інтегрування проводиться по всій довжині дроту.
Магнітна індукція в точці Р визначається ротором функції (III.13)
(Постійні скалярні величини ми винесли за знак ротора).
Інтегрування в формулі (III.14) здійснюється по штрихованої координатами (за координатами точки, в якій знаходиться елемент), а диференціювання при обчисленні ротора - по іештріхованним координатами (за координатами точки; щоб підкреслити це ми забезпечили оператор у індексом). Тому операції інтегрування і обчислення ротора можна поміняти місцями. В результаті формула (III. 14) набуде вигляду
Ротор в вираженні (III.15) береться від твору вектора на скаляр Згідно з правилами диференціювання ротор в цьому випадку складається з двох доданків, в одному яких оператор у, діє на векторний співмножник, а в другому - на скалярний співмножник. Векторний співмножник не містить нештріхованних координат. Тому перший доданок дорівнює нулю. Отже, підінтегральна функція в (III.15) може бути представлена у вигляді
Нескладні обчислення дають для градієнта функції (при знаходженні градієнта диференціювання здійснюється за координатами значення -. З урахуванням цього формула (III.15) набирає вигляду
Ми прийшли до закону Біо-Савара (див. Формулу (42.3), в якій відповідає в формулі (III.16)).
Поле на великих відстанях від контуру зі струмом. Знайдемо за допомогою векторного потенціалу магнітну індукцію В поля, створюваного плоским контуром зі струмом на відстанях, значно ббльшнх лінійних розмірів контуру.
Виберемо осі х і у в площині контуру, причому так, щоб напрямок струму утворювало з віссю правовінтовую систему (рис. III.2; позначення на цьому малюнку ті ж, що і на рис. III.1) - Відповідно до формули (III.13 )
Інтеграл тепер береться по замкнутому контуру.
Скориставшись тим, що за умовою, збережемо в подинтегральную вираженні тільки члени порядку відкинувши члени вищих порядків малості.
З урахуванням цього функцію можна представити у вигляді
(Ми відкинули під коренем доданок). Оскільки. ланцюжок перетворень (III. 18) можна продовжити наступним чином:
Замінивши підінтегральної функції в (III.17) її наближеним виразом (III. 19), отримаємо
(Ми скористалися тим, що не залежить від штрихованих координат). Перше доданок дорівнює нулю, оскільки
Перетворимо другий доданок, висловивши скалярний твір через компоненти перемножуєте векторів і представивши у вигляді (нагадаємо, що х і у - координати точки, в якій знаходиться цієї точки дорівнює нулю). В результаті вираз (III.20) набуде вигляду
Нештріхованние координати ми винесли за знак інтеграла, оскільки інтегрування проводиться по штрихованої координатами.
Під знаком інтеграла стоїть диференціал функції. Інтеграл від повного диференціала, взятий по замкнутому шляху, дорівнює нулю.
Аналогічно дорівнює нулю. Тому вираз (III.21) спрощується таким чином:
З рис. III.3 ВНДІ, що перший інтеграл в (III.22) дорівнює площі контуру S, взятої зі знаком мінус, а другий інтеграл - площі S, взятої зі знаком плюс. Таким чином,
Введемо позитивну нормаль до площини контуру, т. Е. Вектор з компонентами (0,0,1) і обчислимо векторний добуток
Порівняння з (III.23) показує, що вираз для векторного потенціалу можна представити у вигляді
Множник являє собою магнітний момент контуру (див. Формулу (46.5)). отже,
З отриманого виразу випливає, що вектор А в кожній точці Р перпендикулярний до площини, що проходить через напрям вектора і точку Р (см. Рис. III.2).
Замінивши на уявімо вираз (III.23) у вигляді
Обчисливши ротор функції (II 1.25), знайдемо магнітну індукцію поля:
За допомогою формули (III.26) можна обчислити В в будь-якій точці, відстань якої від контуру багато більше лінійних розмірів контуру. За цією формулою для точок, що лежать на осі, виходить значення
Формула (III.27) збігається з формулою (4.7.2), отриманої для кругового контуру. Для точок (х, у, 0), що лежать в площині контуру,
(Пор. З формулами (9.9) і (9.10)).
Знайдемо модуль вектора В в точці з координатами. Відповідно до формули (III.26)
Шляхом нескладних викладень можна переконатися в тому. що вираз фігурних дужках можна уявити в внде
де О - кут між вектором і напрямком на точку Р (см. рис. III.2). Таким чином, ми приходимо до виразу