додатки похідною

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Один з додатків похідною - правило Лопіталя при обчисленні меж (у випадках невизначеностей і):

2.31. Знайти межі за правилом Лопіталя:

Дослідження функції на монотонність,

Екстремуми і опуклість.

Асимптоти графіка функції

Определеніе.Крітіческой точкою функції у = f (х) називається точка в якій похідна дорівнює нулю або не існує.

Теорема. Якщо в проміжку (а; b) похідна позитивна / негативна, то в цьому проміжку функція зростає / зменшується.

Теорема. Якщо при переході через критичну точку похідна змінює знак з «+» на «-» (з «-» на «+»), то - точка максимуму (мінімуму) функції

Визначення. Функція називається опуклою вгору (вниз) в проміжку (а; b), якщо в цьому проміжку точки графіка лежать під (над) дотичними, побудованими в цих точках. Точкою перегину називається точка графіка функції, яка ділить його на частини з різними напрямками опуклості.

Дослідити функцію на монотонність і екстремуми, опуклість.

1. Досліджуємо функцію на монотонність і екстремуми.

Зробимо малюнок (рис. 2.1).

Обчислимо ординати точок перегину графіка:

Координати точок перегину: (0; 0), (1; -1).

2.32. Дослідити функцію на монотонність і екстремуми:

2.33. Знайти найменше та найбільше значеніяфункціі:

1) на проміжку [2; 4];

2) на проміжку [-1; 1];

3) на проміжку [-4; 4];

4) на проміжку [-2; 1].

2.34. Витрати виробництва С (у. Е.) Залежать від обсягу продукції, що випускається х (од.): Знайти найбільші витрати виробництва, якщо х змінюється на проміжку [2; 7]. Знайти значення х. при якому прибуток буде максимальної, якщо виручка від реалізації одиниці продукції дорівнює 15 у. е.

2.35. Потрібно виділити прямокутну майданчик землі в 512 м 2. обгородити її і розділити парканом на три рівні частини паралельно одній із сторін майданчика. Якими мають бути розміри майданчика, щоб на огорожу пішло найменшу кількість матеріалу?

2.36. При заданому периметрі прямокутного вікна знайти такі його розміри, щоб воно пропускало найбільшу кількість світла.

2.37. Знайти максимум прибутку, якщо дохід R і витрати C визначаються формулами: де х - кількість реалізованого товару.

2.38. Залежність обсягу випуску продукції W від капітальних витрат К визначається функцією Знайти інтервал зміни К. на якому збільшення капітальних витрат неефективно.

2.39. Функція витрат має вигляд Дохід від реалізації одиниці продукції дорівнює 200. Знайти оптимальне для виробника значення випуску продукції.

2.40. Залежність обсягу випуску продукції (в грошових одиницях) від капітальних витрат визначається функцією Знайти інтервал значень. на якому збільшення капітальних витрат неефективно.

2.42. Дохід від виробництва продукції з використанням одиниць ресурсу становить величину Вартість одиниці ресурсу - 10 ден. од. Яка кількість ресурсу слід придбати, щоб прибуток був найбільшою?

2.43. Функція витрат має вигляд Дохід від реалізації одиниці продукції дорівнює 50. Знайти максимальне значення прибутку, яке може отримати виробник.

2.44. Залежність доходу монополії від кількості продукції, що випускається визначається як Функція витрат на цьому проміжку має вигляд Знайти оптимальне для монополії значення випуску продукції.

2.45. Ціна на продукцію монополії-виробника встановлюється відповідно до відношення, які можуть бути ідентифіковані як. При якому значенні випуску продукції дохід від її реалізації буде найбільшим?

2.46. Функція витрат має такий вигляд при при. На даний момент рівень випуску продукції За якої умови на параметр p фірмі вигідно зменшити випуск продукції, якщо дохід від реалізації одиниці продукції дорівнює 50?

2.47. Знайти точки перегину і інтервали опуклості графіка функції:

2.48. Знайти асимптоти графіка функції:

Вказівка. Вертікальнаяасімптотаімеет рівняння х = а, якщо хоча б один з односторонніх меж функції в точці х = а дорівнює ∞.

Наклоннаяасімптота має рівняння