Диференціальні рівняння першого порядку - студопедія

У загальному випадку диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

Використовуючи рівняння, можна знайти похідну шуканої функції в будь-якій точці області визначення функції на площині. Ця похідна визначає тангенс кута нахилу дотичної до інтегральної кривої. Тому можна в кожній точці площини побудувати поле напрямків і зобразити наближено сімейство інтегральних кривих. Для цього використовують ізокліни.

Ізокліни називається лінія, на якій похідна рішення диференціального рівняння приймає постійне значення.

Рівняння ізоклін для рівняння має вигляд, де.

Приклад 7.5. Для диференціального рівняння побудувати поле напрямків, кілька ізоклін і наближений вигляд інтегральних кривих.

Рівняння ізоклін має вигляд, т. Е.. На малюнку (рис. 81) зображені ізокліни при,,,,,. Наприклад, рівняння ізокліни при є прямою, що проходить по бісектрисі 1-го координатного кута. Тангенс кута нахилу дотичної до інтегральної кривої на цій ізокліни дорівнює

(), Т. Е. Дотичні утворюють з віссю кут 135 °. На малюнку цей напрямок зазначено рисками.

При рівняння ізокліни. Тангенс кута нахилу дотичних до інтегральної кривої на цій ізокліни дорівнює. Рівняння ізоклін: при, при, при, при. Щоб зобразити наближено вид інтегральної кривої, необхідно вибрати довільно початкову точку і від неї провести лінію (криву). Ця лінія повинна стосуватися напрямків (рисок) на ізокліни.