Диференціальне рівняння першого порядку - студопедія
Якщо в рівнянні () входить тільки перша похідна від шуканої функції, то це диференціальне рівняння першого порядку. Саме загальне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд
Де-задає безперервна функція трьох своїх аргументів: зокрема, вона може не залежить від х або від у, але неодмінно повинна містити.
Якщо рівняння (7.6) визначає як неявну функцію двох інших аргументів, то його можна представити у вигляді дозволеному щодо
Тут -безперервні задана функція від х і у.
У диференціальному рівнянні (7.16) або (7.17) х є незалежним змінним, у -іскомой функцією.
Определеніе7.4 диференціальне рівняння першого порядку є співвідношення, що зв'язує шукану функцію, незалежні змінні і першу похідну від шуканої функції.
Визначення 7. 5 Рішенням диференціального рівняння першого порядку називається всяка функція. яка будучи підставлена в рівняння (7.16) або (7.17) зверне його в тотожність.
Для диференціального рівняння (7.17) справедлива наступна теорема, так звана теорема існування.
Теорема 7.1 якщо в рівнянні (7.17) функція неперервна і її похідна неперервна в деякій область містить деяку точку. то існує єдине рішення цього рівняння
,
Геометричний сенс теореми заклюается в тому, що існує і при тому єдина функия. графік якої проходить через точку.
Приклад 7.7: Розглянемо задачу
Де є безперервною функцією і областю визначення цієї функии є безліч всіх.
Легко видно, що і. тобто виконується умова теореми. Рішення цього рівняння є функція
Визначимо З з умови що при. т.е. звідки С = 1/2.
Умова. що при х = х0 функція у повинна дорівнювати початковому заданому числу у0. називається початковою умовою. Вона часто записується у вигляді
Визначення 7.6 Спільним рішенням диференціального рівняння першого порядку називається функція. яка залежить від одного довільного постійного С і задовольняє таким умовам:
А) вона задовольняє диференціальних рівнянь при будь-якому конкретному значенні С постійного С.
Б) як і вона була початкова умова при тобто можна знайти таке значення С = С0 що функція задовольняє даній початковій умові.
Ці всі умови будуть задоволені, тоді і тільки тоді, коли виконується умова теореми існування і єдиності.
У процесі розвідки спільного рішення диференціального рівняння ми нерідко приходимо до співвідношення виду
Чи не дозволено щодо у. дозволивши це співвідношення щодо у, отримаємо загальне рішення.
Однак, висловити у через співвідношення (7.19) в елементарних функціях не завжди виявляється можливим. В такому випадку загальне рішення диференціального рівняння залишається в неявному вигляді.
. неявно задає загальне рішення, називається загальним інтегралом диференціального рівняння.
Визначення 7.7: Приватним рішенням називається будь-яка функція. якщо в останньому довільному постійному З надати певне значення С = С0.
співвідношення називається приватним інтегралом рівняння.
