Диференціальне рівняння Бернуллі, приклади, рішення

У цій статті ми розберемо методи вирішення диференціального рівняння Бернуллі. Для закріплення матеріалу докладно розглянемо рішення прикладів.

Диференціальне рівняння Бернуллі має вигляд. При n = 1 це диференціальне рівняння стає рівнянням із перемінними.

Одним з методів вирішення диференціального рівняння Бернуллі є зведення його до лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку введенням нової змінної. Дійсно, при такій заміні маємо і диференціальне рівняння Бернуллі набуде вигляду

Так диференціальне рівняння Бернуллі приводиться до лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку. Після вирішення цього рівняння і проведення зворотної заміни отримуємо дані рішення.

Розберемо на прикладі.

Знайдіть спільне рішення диференціального рівняння Бернуллі.

У нашому прикладі. Введемо нову змінну, тоді. Після проведення заміни змінної і невеликих перетворень отримуємо ЛНДУ першого порядку

Вирішимо його методом варіації довільної сталої.

Для цього спочатку знаходимо спільне рішення диференціального рівняння.

z = 0 також є рішенням диференціального рівняння, так як воно звертається в тотожність при нульовій функції z. Цей випадок можна описати рівністю при C = 0. Таким чином, загальним рішенням диференціального рівняння є, де C - довільна постійна.

Тепер варіюємо довільну постійну, тобто, приймаємо спільним рішенням диференціального рівняння. Тому

де С3 - довільна постійна.

Таким чином, .
Залишилося провести зворотний заміну. Так як ми брали, то. Це і є спільне рішення вихідного диференціального рівняння Бернуллі.

Розглянемо ще один метод вирішення диференціального рівняння Бернуллі, заснований на представленні шуканої функції y у вигляді добутку функцій u (x) і v (x).

В цьому випадку . Після підстановки в рівняння Бернуллі отримуємо

Якщо в якості опції v взяти ненульове приватне рішення диференціального рівняння, то прийдемо до рівності

звідки і визначимо функцію u.

Вирішимо приклад цим способом, щоб стало все зрозуміло.

Вирішіть задачу Коші, y (0) = 1.

Іншими словами, нам потрібно знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє початковій умові y (0) = 1.

Після поділу обох частин рівності на x 2 + 1 стає зрозуміло, що ми маємо диференціальне рівняння Бернуллі.

Спочатку знайдемо спільне рішення.

Приймемо y = u ⋅ v. тоді і рівняння набуде вигляду

Знайдемо приватне рішення диференціального рівняння із перемінними, відмінне від нуля.

Візьмемо в якості приватного рішення.

Перш ніж візьмемо кожен з інтегралів окремо, відзначимо, що u = 0 є рішенням.

Інтеграл, що стоїть в лівій частині, легко знаходиться з таблиці первісних:

Для знаходження інтеграла приймемо arctgx = z і скористаємося методом інтегрування частинами:

Звідки і - всі рішення диференціального рівняння Бернуллі.

Залишилося знайти приватне рішення, що задовольнить початковому умові y (0) = 1. Так як, то. Отже,.

Таким чином, - шукане рішення задачі Коші.

• Ельсгольція Л.Е. Диференціальні рівняння і варіаційне числення.