Детермінованих сигналів - студопедія
Поряд зі спектральним підходом до опису сигналів часто на практиці виявляється необхідним характеристика, яка давала б уявлення про деякі властивості сигналу, зокрема про швидкість зміни в часі. а також про тривалість сигналу без розкладання його на гармонійні складові.
В якості такої тимчасової характеристики широко використовується Кореляційна функція сигналу.
Для детермінованого сигналу S (t) кінцевої тривалості кореляційна функція визначається наступними виразами:
де - часове зрушення сигналу.
Тут ми будемо розглядати сигнали, які є речовими функціями часу, і в зв'язку з цим позначення комплексного сполучення можна опустити.>
З (.129) видно, що характеризує ступінь зв'язку (кореляції) сигналу S (t) зі своєю копією, зрушеною на величину по осі часу. Ясно, що функція досягає максимуму при, так як будь-який сигнал повністю коррелирован з самим собою. При цьому
Тобто максимальне значення авто - кореляційної функції дорівнює енергії сигналу.
Зі збільшенням убуває (не обов'язково монотонно) і при відносному зсуві сигналів S (t) і на час, що перевищує тривалість сигналу, звертається в нуль.
На малюнку 2.36 показано побудову кореляційної функції для найпростішого сигналу у вигляді прямокутного імпульсу (рис. 2.36.а). Зрушений на на рис. 2.36-б, а твір - на рис. 2.36-в. Графік функції зображений на рис. 2.36,2. Кожному значенню відповідає свій твір і площа під графіком функції. Чисельні значення таких площ для відповідних і дають ординати функцій.
Аналогічне побудова для трикутного імпульсу зображено на рис. 2.37. Із загальної визначення кореляційної функції, а так само з наведених прикладів видно, що байдуже, вправо або вліво щодо своєї копії зрушувати сигнал на величину. Тому вираз (2.129) можна узагальнити наступним чином:
Це рівносильно твердженням, що є парною функцією нарис. 2.38-а показаний сигнал у вигляді пачки з 4-х однакових імпульсів, зсунутих один щодо іншого на час, а на рис. 2.38-б - відповідна цим сигналом кореляційна функція. Поблизу значень. рівних 0,, і, ця функція має такий же вигляд, як і для одиночного імпульсу (див. рис. 2.36-2).
Максимальне значення кореляційної функції (при) одно учетверённой енергії одного імпульсу.
Мал. 2.36 рис. 2.37 Побудова корреляці-
Побудова кореляційної оной функції для трикутного
функції для прямокутного імпульсу.
Мал. 2.38. Пачка з 4-х прямокутних імпульсів (а) і кореляційна функція цієї пачки (б).
Для періодичного сигналу, енергія якого нескінченно велика, визначення кореляційної функції за допомогою виразів (2.129) або (2.129 ') не прийнятне. В цьому випадку виходять з наступного визначення:
При такому визначенні кореляційна функція набуває розмірність потужності. причому дорівнює середньої потужності періодичного сигналу.
З огляду на періодичності сигналу S (t) усереднення твори або по нескінченно великому відрізку T має збігатися з розподілених на періоду. Тому вираз (2.131) можна замінити виразом:
Вхідні в цей вираз інтеграли є не що інше, як корреляціоннаяфункція сигналу на інтервалі. Позначаючи її через, приходимо до співвідношення:
Очевидно, що періодичному сигналу S (t) відповідає і періодична кореляційна функція. Період функції збігається з періодом вихідного сигналу S (t).
Наприклад, для найпростішого (гармонійного) коливання
При, -є середня потужність гармонійного коливання з амплітудою.
Важливо відзначити, що кореляційна функція не залежить від початкової фази коливання.
На (рис. 2.39-б) зображена кореляційна функція сигналу, що представляє собою періодичну послідовність прямокутних імпульсів (рис. 2.39-а).
Мал. 2.39. Періодична послідовність імпульсів (а) і її кореляційна функція (б).
Кожен з імпульсів функції збігається за формою з кореляційної функцією одиночного імпульсу з періодичної послідовності S (t). Однак в даному випадку максимальні ординати одно не енергії (як на рис. 2.38), а середньої потужності сигналу S (t), тобто величиною.
Для оцінки ступеня зв'язку між двома різними сигналами і використовується взаємна кореляційна функція, яка визначається загальним виразом:
Для дійсних функцій і
Розглянута вище кореляційна функція є окремим випадком функції, коли.
Побудова взаємної кореляційної функції для двох сигналів і приведено на ріс.2-40. Початкове положення сигналу показано (на рис. 2.40-а). При зсуві сигналу вліво (мал. 2.40-б) кореляційна функція спочатку зростає, а потім зменшується до нуля при.
При зсуві вправо () кореляційна функція відразу убуває. В результаті виходить асиметрична щодо осі ординат функція (рис. 2.40-в).
Очевидно, що значення не зміниться, якщо замість попередження сигналу дати затримку сигналу.
Тому (2.134) можна узагальнити наступним чином:
Мал. 2.40 Побудова взаємної кореляційної функції:
а) вихідне положення сигналів;
б) зсув сигналу на вліво;
в) взаємна кореляційна функція.
Слід, однак, розрізняти (2.129 ') і (2.135').
На відміну отвзаімная кореляційна функція не обов'язково є парною відносно. Крім того, взаємна кореляційна функція не обов'язково досягає максимуму при. Обидва цих властивості взаємної кореляційної функції ілюструються на ріс.2.40.