цілий елемент

Таким чином, цілі елементи B - це в точності коріння наведених многочленів над A. Якщо кожен елемент B є цілим над A. кільце B називається цілим расшіреніемA (або просто «кільцем, цілим над A»).

Якщо A і B - поля. термінам «цілий над» і «ціле розширення» відповідають терміни «алгебраичен над» і «алгебраїчне розширення». Окремий випадок, особливо важливий в теорії чисел - комплексні числа. є цілими над Z. вони називаються цілими алгебраїчними числами.

Безліч всіх елементів B. цілих над A. утворює кільце; воно називається цілим замиканіемA в B. Ціле замикання раціональних чисел в деякому кінцевому розширенні k поля Q називається кільцем цілих поля k. цей об'єкт є фундаментальним для алгебраїчної теорії чисел.

Надалі в цій статті під словом «кільце» мається на увазі «коммутативное кільце з одиницею».

  • Цілі числа - єдині елементи Q. є цілими над Z. До деякої міри, це пояснює походження терміна «цілий».
  • Гаусові числа. як елементи поля комплексних чисел, є цілими над Z.
  • Нехай ζ - корінь з одиниці. Ціле замикання Z в круговому полі Q (ζ) - це Z [ζ].
  • Якщо k ¯ >> - алгебраїчне замикання поля k. то k ¯ [x 1. .... x n]> [x _, \ dots, x _]> ціле над k [x 1. .... x n]. , \ Dots, x _].>
  • Нехай кінцева група G діє на кільці A гомоморфізми кілець. Тоді A є цілим над безліччю елементів, які є нерухомими точками дії групи.

Нехай b - елемент кільця B. A - подкольцо B. Наступні твердження еквівалентні:

  • b є цілим над A;
  • Подкольцо A [b] кільця B є конечнопорожденним A -модулем;
  • Існує подкольцо C кільця B. містить A і b. і є конечнопорожденним A -модулем;
  • Існує конечнопорожденний A -модуль M кільця B. такий що bM ⊂ M і з b'M = 0 випливає, що b '= 0.

З третього властивості легко вивести, що безліч всіх елементів, цілих над A. є подкольцом B (замкнуто щодо додавання і множення), воно називається цілим замиканням A в B. Якщо ціле замикання збігається з самим кільцем A. A називається целозамкнутим в B.

«Цілість» є транзитивним відношенням: якщо кільце C ціле над B і B ціле над A. то C ціле над A.

Також з третього властивості випливає, що якщо B ціле над A. то B є об'єднанням (або, еквівалентно, прямим межею) подколец, є конечнопорожденнимі A-модуля.

Нехай A - целозамкнутое кільце з полем приватних K і L - кінцеве розширення K. Тоді елемент L цілий над A тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти його мінімального многочлена належать A. це більш сильне умова, ніж просто цілість, для якої досить існування довільного многочлена з такою властивістю. Будь-яке факторіальне кільце є целозамкнутим.

Нехай A - нетеровим цілісне кільце. Тоді A целозамкнуто в тому і тільки в тому випадку, коли (1) A збігається з перетином всіх локалізацій A по простому ідеалу і (2) локалізація A по простому ідеалу висоти 1 (тобто не містить інших ненульових простих ідеалів) - кільце дедекінда. Також кільце нетер целозамкнуто тоді і тільки тоді, коли воно є кільцем Крулля.

нормальні кільця

Цілком целозамкнутие кільця

Нехай A - цілісне кільце, K - його поле приватних. Елемент x поля приватних називається майже цілим над A. якщо існує такий d ∈ A. що d x n ∈ A \ in A> для будь-якого натурального n. Кільце A називається цілком целозамкнутим. якщо будь-який майже цілий над ним елемент міститься в A. Цілком целозамкнутие кільця целозамкнути. Назад, нетеровим целозамкнутие кільця цілком целозамкнути.

Кільце формальних статечних рядів над цілком целозамкнутим кільцем цілком целозамкнуто, тоді як для довільних целозамкнутих кілець це невірно.

Локальність властивості целозамкнутості

Наступні умови для цілісного кільця A еквівалентні:

  • A целозамкнуто;
  • Локалізація A по будь-якій простій ідеалу целозамкнута;
  • Локалізація A з будь-якого максимального ідеалу целозамкнута.
  1. ↑ Якщо локалізації комутативного кільця R по всім максимальним ідеалам не містять нільпотентов (наприклад, цілісні), то і R їх не містить. Доведення. Нехай x - ненульовий елемент R і x n = 0. АNN (x) (елементи, множення на які обнуляє x) міститься в деякому максимальному ідеалі m >>. Образ x в локалізації по m >> - ненульовий, так як в противному випадку x s = 0 для деякого s ∉ m >>. протиріччя. Отже, локалізація R по m >> містить ненульовий нільпотент.
  2. ↑ Matsumura 1989, p. 64
  • Bourbaki, Commutative algebra.
  • Kaplansky Irving. Commutative Rings. - University of Chicago Press, 1974. - ISBN 0-226-42454-5.
  • Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6.