Чи можливо відкрити приватний загс або які можуть бути варіанти для цього

Не можна. Повноваження державні, передаватися можуть тільки зазначеним у законі органам, а не приватним особам.

"Про акти громадянського стану"

1. Державна реєстрація актів цивільного стану проводиться органами реєстрації актів цивільного стану, освіченими органами державної влади суб'єктів Укаїни (далі - органи реєстрації актів цивільного стану).

Питання освіти і діяльності органів реєстрації актів цивільного стану на територіях суб'єктів Укаїни вирішуються суб'єктами Укаїни самостійно на підставі цього Закону.

Керівник органу виконавчої влади суб'єкта Укаїни, в компетенцію якого входить організація діяльності з державної реєстрації актів цивільного стану на території суб'єкта Укаїни, призначається вищою посадовою особою (керівником вищого виконавчого органу державної влади) відповідного суб'єкта Укаїни за погодженням з уповноваженим центральним органом виконавчої влади, що здійснює функції з вироблення і реалізації державної політики та нормативно-правового регулював ю в сфері державної реєстрації актів цивільного стану.

Повноваження на державну реєстрацію актів цивільного стану є повноваженнями Укаїни, які передаються органам державної влади суб'єктів Укаїни (з можливістю делегування органам місцевого самоврядування), фінансування яких здійснюється за рахунок субвенцій з федерального бюджету ".