Чет і непарне число, математика, яка мені подобається

Студенти іноді задають кумедні питання. Щороку знаходиться хтось, хто запитує: "А нуль парне число або непарне? '' І вони замислюються ... Рідко трапляється так, що хтось відразу може відповісти на цей підступний питання. Тоді доводиться втрутитися в виниклу дискусію: "Нуль ділиться на? '' Через деякий час:" Так ''. Тоді знову задаю те ж питання: "Так нуль - число парне або непарне? '' І тут вже все зрозуміло:" Парне! ''

А тепер давайте подивимося, як парність допомагає вирішувати завдання. Але для початку все-таки визначимо, які числа будемо називати парними, а які - непарними.

Визначення. Ціле число називається парним, якщо воно ділиться на всі сто, і непарних, якщо воно на не ділиться.

Парні числа:, непарні числа:.

Будь-яке парне ціле число представимо у вигляді, де - ціле число. Будь-яке непарне число можна подати у вигляді, де - ціле число (зрозуміло, будь-непарне число при діленні на дає залишок).

Далі наведу приклади вирішення різних завдань.

Завдання 1. Доведіть, що сума

а) двох парних чисел або двох непарних чисел є число парне;

б) двох чисел різної парності є число непарне.

Рішення. а) Візьмемо для початку два парних числа: і. Їх сума дорівнює, де - ціле число. Таким чином, сума - парне число.

Сума двох непарних чисел і дорівнює, де - ціле число. І сума парна.

б), де - ціле число. Сума непарна.

Завдання 2. Доведіть, що твір

а) двох непарних чисел - парне число;

б) парного числа на будь-яке число - парне число.

Вирішення цього завдання практично таке ж, як і попередньої. Спробуйте довести ці твердження самостійно.

Ці два завдання часто будемо використовувати надалі.

Завдання 3. Чи можна розміняти рублів десятьма монетами гідністю і руб.?

Рішення. Якщо ми складемо парне число будь-яких цілих чисел, то отримаємо число парне (див. Задачу 1), а - непарне число.

Завдання 4. Твір цілих чисел одно. Доведіть, що їх сума не дорівнює нулю.

Рішення. Ясно, що кожне з чисел дорівнює або, причому парне число. А щоб сума всіх чисел дорівнювала нулю, потрібно, щоб і було порівну, тобто по. Отримали протиріччя, яке і говорить про те, що сума всіх чисел не може бути дорівнює нулю.

А тепер кілька завдань на парність для самостійного рішення.

1. Різниця двох цілих чисел помножили на їх твір. Чи могло вийти число?

2. У таборі людина, і кожен день чергують троє. Чи може через деякий час опинитися, що кожен з кожним чергував рівно один раз?

3. Кінь вийшов з поля шахівниці і, зробивши деяке число ходів, знову повернувся на це поле. Чи міг він зробити непарне число ходів?

4. На площині розташовані шестерень: перша зчеплена з другої, друга - з третьої і т.д. дев'ята - з першої. Чи можуть вони все обертатися?

5. У рядок виписані числа від до. Чи можна поставити між ними знаки " '' і" '' так, щоб отриманий вираз дорівнювало нулю?

6. Кожна людина в світі знизав якусь кількість рук. Доведіть, що число людей, потиснули непарне число рук, парне.

С. А. Генкін, І. В. Ітенберг, Д. В. Фомін, "Ленінградські математичні гуртки"