Булинін в, графічні методи розв’язання задач, журнал «фізика» № 15 за 2018 рік
В.Л.Булинін,
школа № 142, г. Киев
2. Побудова графіків циклів ідеального газу
Нехай потрібно побудувати графік циклу ідеального газу, заданий в будь-яких двох координатних осях з трійки p. V. T (наприклад, показаний на рис. 1), в іншій парі осей.
Як безпомилково виконати таке побудова? Якщо маса газу не змінюється (m = const), то рівняння стану може бути записано у вигляді:
де c = R - константа для даного завдання.
Рівняння (1) називається рівнянням Клапейрона, саме воно є нашим головним робочої формулою і справедливо в кожній точці заданого і шуканих графіків. Згадаймо, як виглядають графіки ізопроцессов і як на них впливає третій (відсутній) параметр (рис. 2).
а) Ізотерми: чим вище T. тим вище йде гіпербола pV = cT.
б) Ізобари: чим вище p. тим менше нахил прямої
в) Ізохор: чим більше V. тим менше нахил прямої
1. Нехай графік заданий в осях p. V. Спочатку розташуємо зручно системи координат p. T і V. T. в яких потрібно виконати побудову (рис. 3). Переносимо на них дані по p і V. Для цього проведемо пунктирні лінії p1,2 = const, p3,4 = const, V1,4 = const, V2,3 = const. У гуртках справа записуємо цифри, що позначають переходи.
Далі записуємо прямо на графіку, у що «перетворюється» рівняння Клапейрона (1) на кожному з переходів (1-2, 2-3 і т.д.) для кожного заданого ізопроцессамі:
Наступний крок: знаходимо на заданому графіку точку (або лінію) з максимальним значенням відсутньої змінної. У нашому прикладі це температура T. T3 = Tmax в точці 3. Таким чином, ми можемо поставити масштаб по відсутньої координаті, провівши вертикальну лінію T = T3 (рис. 5), всі інші температури будуть знаходитися зліва від цієї лінії. Завдання масштабу (проведення першої лінії) - це єдине довільне дію при перебудові графіків. Далі знаходимо точки 3 на нових графіках (за випадковим збігом індексів «3» в гуртках і на вертикалі T = T3).
Тепер можна побудувати ділянки (переходи) 3-4 і 2-3. Переходу 2-3 відповідає формула В координатах p. T - це пряма, що проходить через початок координат і точку 3 (рис. 5). Провівши цю пряму, знаходимо точку 2 і, тим самим, температуру T2. Продовживши вертикаль T = T2 до координат V. T знаходимо точку 2 на другому графіку на перетині ліній T = T2 і V = V2,3. Поєднавши точки 2 і 3, відображаємо перехід 2-3 в координатах p. T і V. T.
Аналогічно будуються переходи 1-2 і 3-4. Кожен з них в координатах V. T - це пряма проходить через початок координат і точки 2 і 3 відповідно (рис. 6). Перетин цих прямих з лінією V = V1,4 дає точки 1 і 4 і відповідно шукані температури T1 і T4 (на рис. 6 не вказані через нестачу місця). Продовживши вертикалі T = T1 і T = T4 до координат p. T. знаходимо точки 1 і 4 в координатах p. T на перетині з лініями p = p1,2 і p = p3,4.
Завершуємо побудова, з'єднавши всі знайдені точки прямими лініями (рис. 7). При акуратному виконанні всіх операцій точки T1. T2. T3. T4 повинні лежати на обох графіках на одних вертикалях, а прямі изохор і изобар проходити через початок координат в координатах p. T і V. T.
2. Якщо графік циклу заданий в координатах V. T. нові координати логічніше розташувати так, як показано на рис. 8.
3. Нехай цикл ідеального газу заданий в координатах p. T. Потрібно знайти вид цього циклу в координатах p. V і V. T. Вирішуємо задачу в тому ж порядку. Будуємо нові координати зручним чином, записуємо відповідні кожній ділянці графіка формули, використовуючи рівняння (1), переносимо задані значення pi і Ti (рис. 9).
Знаходимо точку або лінію, де третій (відсутній на вихідному графіку) параметр має максимальне значення. У нашому випадку це обсяг: Vmax = V2. Задаємо масштаб по координаті V. проводячи лінії V = V2 в координатах p. V і V. T і визначаючи тим самим положення точки 2 в цих координатах.
Процес 1-2 в координатах V. T - це пряма лінія яка проходить через початок координат і точку 2. Проводимо її і знаходимо точку 1 на перетині цієї лінії з вертикаллю T = T1,4. Відзначаємо значення V1 в координатах V. T і p. V.
Тепер найважче: в координатах p. V треба побудувати дві гіперболи, що проходять через точки 1 і 2. Найпростіше виконати це побудова по клітинам: в точці 2 pV = 6 • 2 = 12 клітин. Так як для кожної точки шуканої гіперболи має виконуватися pV = 12, легко знайти такі точки: (p = 6, V = 2); (P = 4, V = 3); (P = 3, V = 4). Будуємо за цими точкам гіперболу і на її перетині з лінією p = p3,4 знаходимо точку 3. Трохи важче побудова для точки 1, тому що p1V1 = 3: (p = 3, V = 1); (P = 6, V = 0,5) і т.д. - знаходимо точку 4.
Значення V3 і V4 наносимо на вісь V в координатах V. T і p. V (рис. 10). Якщо гіперболи побудовані правильно, то ці точки повинні виявитися на одній прямій, що проходить через початок координат.
4. Графік циклу ідеального газу, зображений на рис. 11 в координатах p. V. треба побудувати в координатах p. T і V. T.
Перехід 1-2 не є ізопроцессамі, все три параметра p. V і T є змінними, і в координатах p. T і V. T цей перехід вже не буде описуватися прямою лінією. Проте наші дії і їх послідовність залишаються колишніми.
Ясно, що Tmax = T2. процес 2-3 відображається прямою лінією V = T в координатах V. T; процес 1-3 - прямою лінією p = T в координатах p. T.
Рівняння процесу 1-2 в координатах p. V задається рівнянням p = V. де - константа (тангенс кута нахилу заданої прямої): V = p. так що рівняння (1) можна записати як
Звідси отримуємо V = тобто V
.
З = c отримуємо p = тобто p
.
Тепер можна через точки 1 і 2 і початок координат провести приблизні криві p
в координатах p. T і V
в координатах V. T і отримати шукані графіки (рис. 12).
5. Графік циклу ідеального газу, зображений на рис. 13 в координатах p. V. побудувати в координатах p. T і V. T.
Изображаем все три системи координат.
Записуємо рівняння переходів 1-2 і 4-3:
p1,2 = 1V; p 3,4 = V3,4 =
де 1 і 2 - константи (нахили ліній 1-2 і 4-3, 1> 2).
З рівняння Клапейрона (1) отримуємо:
Легко бачити, що так що в координатах V. T крива 1-2 піде нижче кривої 4-3.
Далі отримуємо з (1):
Задаємо масштаб по T. проводимо лінію T = T2. знаходимо положення лінії T = T1. Добудовуємо інші криві.
6. Графік циклу ідеального газу, зображений на рис. 14 в координатах p. V. побудувати в координатах p. T і V. T.
Хід рішення - записати рівняння лінії 2-3, висловити p (V) і V (p) і за допомогою рівняння Клапейрона (1) визначити вид функцій p (T) і V (T).
Для кожної точки M (p. V), що належить лінії 2-3, з подібності трикутників (заштрихованого і циклу 1-2-3) можна записати:
У координатах V. T - це парабола, що проходить через початок координат і перетинає вісь V в двох точках: V1 = 0 і V2 =. Очевидно, що вершина цієї параболи Tmax визначається з соотошенія або, за правилом T '(V) = 0:
У цьому завданні краще не шукати Tmax. а з виду заданого циклу задати Tmin. Очевидно, що Tmin = T1.
- маємо нові осі p. T і V. T;
- переносимо на них відомі дані;
- визначаємо для кожної ділянки вид функцій p (T), V (T) і T (V);
- задаємо масштаб по температурі, проводячи вертикаль T = T1 (знаходимо точку 1);
- будуємо прямі p = T і V = T;
- знаходимо точки 2 і 3 в координатах p. T і V. T;
- в координатах p. T через точки 2, 3 і початок координат проводимо (приблизно) параболу і, провівши дотичну до її вершині, знаходимо Tmax;
- завершуємо побудова параболою в координатах V. T через точки 2, 3 і початок координат з киснем в точці Tmax.