Безперервні випадкові величини і їх числові характеристики - студопедія

Лабораторна робота № 6

Інтегральною функцією розподілу називають функцію F (x), що визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше х, тобто

Інтегральна функція має такі властивості:

1. Значення інтегральної функції належать відрізку [0; 1]

2. Інтегральна функція є неубивающей функцією, тобто .

3. Імовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, укладені в інтервалі (a; b), дорівнює приросту інтегральної функції на цьому інтервалі.

4. Імовірність того, що випадкова величина Х прийме одне певне значення, наприклад х1. дорівнює нулю

5. Якщо всі можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу (a; b), то.

6. Чи справедливі такі граничні співвідношення:

Диференціальної функцією розподілу ймовірностей (щільності ймовірностей) називають першу похідну від інтегральної функції:

Імовірність того, що неперервна випадкова величина Х приймає значення, що належать інтервалу (a; b) визначається рівністю

Знаючи диференціальну функцію, можна знайти інтегральну функцію по формулі

Диференціальна функція має такі властивості:

1. Диференціальна функція неотрицательна, тобто

2. Невласний інтеграл від диференціальної функції в межах від -∞ до + ∞ дорівнює одиниці:

Зокрема, якщо всі можливі значення випадкової величини належать інтервалу (a; b), то

Математичне сподівання неперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать всій осі Ох, визначається рівністю

де f (x) - диференціальна функція. Передбачається, що інтеграл сходиться абсолютно.

Зокрема, якщо всі можливі значення випадкової величини належать інтервалу (a; b), то

Модою М0 (Х) неперервної випадкової величини називають то її можливе значення, якому відповідає максимум диференціальної функції.

Медианой Ме (Х) неперервної випадкової величини називають то її можливе значення, яке визначається рівністю

Геометрично медіану можна витлумачити як точку, в якій ордината f (x) ділить навпіл площу, обмежену кривою розподілу.

Дисперсія неперервної випадкової величини Х визначається рівністю

або рівносильним рівністю

Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини визначається так само, як і для дискретної величини:

Початковий теоретичний момент порядку k неперервної випадкової величини Х визначаться рівністю

Центральний теоретичний момент порядку k неперервної випадкової величини Х визначаться рівністю

Очевидно, що якщо k = 1, то # 957; 1 = М (Х), # 956; 1 = 0, якщо k = 2, то # 956; 2 = D (X). Центральні моменти виражаються через початкові моменти за формулами:

Рівномірним називають розподіл ймовірність неперервної випадкової величини Х, якщо на інтервалі (a; b), якому належать всі можливі значення Х, диференціальна функція постійна і дорівнює

і f (x) = 0 поза цим інтервалом.

Нормальним називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х, диференціальна функція якої має вигляд

де # 956; - математичне очікування, # 963; - середньоквадратичне відхилення випадкової величини Х.

Імовірність того, що Х прийме значення, що належить інтервалу (# 945 ;; # 946;),

де - функція Лапласа.

Імовірність того, що абсолютна величина відхилення менше позитивного числа # 948 ;,

Зокрема, при # 956; = 0 справедливо рівність

Мода і медіана нормального розподілу відповідно рівні:

Показовим (експоненціальним) називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х, яке описується диференціальної функцією

де # 955; - постійна позитивна величина.

Інтегральна функція показового розподілу

Ймовірність влучення в інтервал (a; b) неперервної випадкової величини Х, розподіленої по показовому закону,

Математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення показового розподіл відповідно рівні:

Приклад Побудувати графіки щільності ймовірностей і інтегральної функції розподілу випадкової величини Х, що має рівномірний розподіл на відрізку [0; 1]. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х і ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал (0.5; 1.5).

Варіанти завдань до лабораторної роботи №6.

Побудувати графіки щільності ймовірностей і інтегральної функції розподілу випадкової величини Х, що має нормальний, з параметрами # 956 ;, # 963 ;. і показовий розподіл з параметром # 955 ;. Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х і ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал (# 945 ;; # 946;).